求摆线x=a(t-sint)，y=a(1-cost)的一拱与y=0所围图形绕y=2a旋转一周所生成的旋转体的体积？

Question

求摆线x=a(t-sint)，y=a(1-cost)的一拱与y=0所围图形绕y=2a旋转一周所生成的旋转体的体积？

Answer 1

用垂直x轴的平面去截这个旋转体，可以得到一个环形的截面，这个环形的面积是：

S=π((2a)²-(2a-y)²)

所以体积微分

dV=Sdx=π(4a²-(2a-a(1-cost))²)d(a(t-sint))

=πa²(3-2cost-cos²t)a(1-cost)dt

积分区间为[0，2π]

所以V=∫[0，2π]πa²(3-2cost-cos²t)a(1-cost)dt=7π²a³

扩展资料：

把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a，b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a，b]的面积。

一个定积分式的值，就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的差。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。

Answer 2

Answer 3

1+cost-cost2-cost3等于（1+cost）sint2