1^2+3^2+5^2+..+97^2+99^2=?

Question

已算出1^2+2^2+3^2+4^2+……+(n-1)^2+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

接下来该如何计算?请详细解释步骤及来由,谢谢.

Answer 1

在解这个题之前，你应该知道数列
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+……n^2=1/6n(n+1)(2n+1)
这个等式成立吧！

这个等式是数列中的基本等式，证明在数学书上应该有的。
若没有的话参考：http://zhidao.baidu.com/question/14256442.html

我不再重复证明了。

那么很容易得到1^2+3^2+5^2+......(2n+1)^2=(n+1)(2n+1)(2n+3)/3

解答过程如下：

因

1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+……n^2=1/6n(n+1)(2n+1)

则
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+……+(2n)^2+(2n+1)^2=1/6(2n+1)[(2n+1)+1][2(2n+1)+1]
化简后
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+……+(2n)^2+(2n+1)^2=1/3(n+1)(2n+1)(4n+3)
即
[1^2+3^2+5^2+......+(2n+1)^2]+[2^2+4^2+6^2+.....+(2n)^2]=1/3(n+1)(2n+1)(4n+3)
即
[1^2+3^2+5^2+......+(2n+1)^2]+4(1^2+2^2+3^2+......+n^2)=1/3(n+1)(2n+1)(4n+3)
将已知等式1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+……n^2=1/6n(n+1)(2n+1)代入

得
[1^2+3^2+5^2+......+(2n+1)^2]+2/3n(n+1)(2n+1)=1/3(n+1)(2n+1)(4n+3)

所以
1^2+3^2+5^2+......+(2n+1)^2 = 1/3(n+1)(2n+1)(4n+3)-2/3n(n+1)(2n+1)
=(n+1)(2n+1)(2n+3)/3

证毕！
把N代入N=99（99+1）（2*99+1）/6=33*50*199=325350

Answer 2

把N代入 99（99+1）（2*99+1）/6=33*50*199=325350