隐函数求导的公式是什么？

Answer 1

1. 解：给定隐函数方程 \(x^3 + y^3 - 3axy = 0\)，我们对两边关于 \(x\) 求导。
2. 求导后得到：\(3x^2 + 3y^2y' - 3ay - 3axy' = 0\)。
3. 化简得到：\((y^2 - ax)y' = ay - x^3\)。
4. 再次对两边关于 \(x\) 求导，得到：\((y^2 - ax)y'' + (2yy') - a y' = ay' - 3x^2y''\)。
5. 由于 \(y' = \frac{ay - x^3}{y^2 - ax}\)，将其代入上式，得到：\(y'' = \frac{2ay' - 3x^2 - 2yy'^2}{y^2 - ax}\)。
6. 隐函数导数的求解通常采用以下方法：
a. 首先将隐函数转换为显函数，然后使用显函数的求导方法。
b. 对隐函数的两侧关于 \(x\) 求导，注意将 \(y\) 视为 \(x\) 的函数。
c. 利用一阶微分形式不变的性质分别对 \(x\) 和 \(y\) 求导，再通过移项求得所需的导数。
d. 将多元隐函数视为 \(n+1\) 元函数，使用多元函数偏导数的商来求解 \(n\) 元隐函数的导数。
7. 例如，若要求 \(z = f(x, y)\) 的导数，可以将原隐函数通过移项转换为 \(f(x, y, z) = 0\) 的形式，然后通过 \(\frac{df}{dx} \cdot \frac{dz}{dy} - \frac{df}{dy} \cdot \frac{dz}{dx} = 0\) 来求解。