关于arctanx与-arctan(1/x)的求导

Question

arctanx与-arctan(1/x)的求导后都得到1/(1+x^2)
会不会有些细节上的不同
要是在考试中怎么处理？
哪位大侠解释下。。。

Answer 1

y = arctanx
dy/dx = 1/(1 + x²)

y = -arctan(1/x)
dy/dx = -{1/[1 + (1/x)²]}×(-1/x²)
= 1/(1 + x²)

确确实实，两个不一样的反三角函数，导函数居然是一样的。

其实这只是表面的现象，考试时只要看一看x的定义域就行了。aretanx 与 x 是同价无穷小。x的取值，是可以取0的。

而-arctan(1/x)的定义域是x≠0.

考试时，留意一下定义域就不会出问题了。

Answer 2

关键还是定义域的问题，第二个函数，x≠0.
其次，函数不同，但是导数相同，有很多。比如y=x^2+1和y=x^2+9。