导数问题：f（x）=（2ax-x²）e的x次方，其中a为常数，若函数f(x)在（根号2,2）上单调递减，求a的范围

Question

f（x）=（2ax-x²）e的x次方，其中a为常数，若函数f(x)在（根号2,2）上单调递减，求a的范围，用导数做，求详细步骤 最好有两种方法

Answer 1

解法一：（Ⅰ）依题意得f（x）=（2x-x2）ex，所以f'（x）=（2-x2）ex，
令f′（x）=0，得x=± 2 ，
当x∈(−∞，− 2 )时，f′（x）＜0，函数f（x）在此区间单调递减；
当x∈(− 2 ， 2 )时，f′（x）＞0，函数f（x）在此区间上单调递增；
当x∈( 2 ，+∞)时，f′（x）＜0，函数f（x）在此区间上单调递减；
由上可知，x=- 2 是函数f（x）的极小值点，x= 2 是函数f（x）的极大值点．

（Ⅱ）f'（x）=[-ax2+（2a2-2）x+2a]eax，
由函数f（x）在区间( 2 ，2)上单调递减可知：f′（x）≤0对任意x∈( 2 ，2)恒成立，
当a=0时，f′（x）=-2x，显然f'（x）≤0对任意x∈( 2 ，2)恒成立；
当a＞0时，f′（x）≤0等价于ax2-（2a2-2）x-2a≥0，
因为x∈( 2 ，2)，不等式ax2-（2a2-2）x-2a≥0等价于x-2 x ≥2a2−2 a
令g（x）=x-2 x ，x∈[ 2 ，2]
则g'（x）=1+2 x2 ，在[ 2 ，2]上显然有g′（x）＞0恒成立，所以函数g（x）在[ 2 ，2]单调递增，
所以g（x）在[ 2 ，2]上的最小值为g( 2 )＝0
由于f′（x）≤0对任意x∈( 2 ，2)恒成立等价于x-2 x ≥2a2−2 a 对任意x∈( 2 ，2)恒成立，
需且只需g（x）min≥2a2−2 a ，即0≥2a2−2 a ，解得-1≤a≤1，因为a＞0，所以0＜a≤1．
综合上述，若函数f（x）在区间( 2 ，2)上单调递减，则实数a的取值范围为0≤a≤1．

Answer 2

答：
f(x)=(2ax-x²)e^x
求导：
f'(x)=(2a-2x)e^x+(2ax-x²)e^x
f'(x)=(2a+2ax-2x-x²)e^x
函数f(x)在区间(√2,2)上单调递减，
则在该区间上f'(x)<=0恒成立
f'(x)=(2a+2ax-2x-x²)e^x<=0
所以：2a+2ax-2x-x²<=0
所以：2a(1+x)<=x²+2x
因为：√2<x<2
所以：
2a<=(x²+2x)/(1+x)
=[(x+1)²-1] /(x+1)
=(x+1)-1/(x+1)
因为：x+1和-1/(x+1)在x>0时都是单调递增函数
所以：x=√2时x+1-1/(x+1)取得最小值
2a<=√2+1-1/(√2+1)
=√2+1-(√2-1)
=2
所以：a<=1

追问

除了这种分离参数的方法还有其他的方法吗？

追答

其它方法比较麻烦，不推荐使用，比如讨论抛物线
g(x)=2a+2ax-2x-x²<=0在区间(√2,2)上的成立，这个比较繁杂