点(-1，2，0)在平面X+2Y-Z+1=0上的投影是多少？

Answer 1

点(-1，2，0)在平面X+2Y-Z+1=0上的投影是多少？

解：
过点（-1，2，0）且垂直平面x+2y-z+1=0的直线的方向向量就是该平面的法向量，由此可得该直线的点向式（对称式）方程为
(x+1)/1=(y-2)/2=z/(-1)
化为引数式
{ x=t-1
{ y=2t+2
{ z=-t
代入平面方程，得
(t-1)+2(2t+2)-(-t)+1=0
解得，t=-2/3
故所求投影为（-5/3，2/3，2/3)

点(-1,2,0)在平面x+2y-z+1=0上的投影为

点(-1,2,0)在平面x+2y-z+1=0上的正投影为？
解：过点(-1，2，0)且与平面x+2y-z+1=0垂直的直线方程为：
(x+1)/1=(y-2)/2=z/(-1)=t
那么x=t-1，y=2t+2，z=-t就是该直线的引数方程。
代入平面方程得：(t-1)+2(2t+2)-(-t)+1=6t+4=0
故t=-4/6=-2/3；故点(-1，2，0)在平面x+2y-z+1=0上的正投影的座标为：
x=-2/3-1=-5/3；y=-4/3+2=2/3；z=2/3.
即(-1，2，0)在平面x+2y-z+1=0上的正投影点的座标为(-5/3，2/3，2/3).

求点（-1,2,0）在平面x+2y-z+1=0上的投影

设投影点为(x0.y0.z0)
这样就有3个未知数
点（-1,2,0）与它的投影点组成的向量m必然与平面法向量n=（1，2，-1）平行
那么m与n平行就可以得到两个方程
又因为投影点在平面上，得到第3个方程
3个方程，3个未知数，解得出来啦~~

过点(-1,2,0)作平面x+2y-z+1=0的垂线，那么垂足即为所求投影。容易知道，垂足即为这条垂线与平面的交点。
因为平面x+2y-z+1=0的法向量为 (1,2,-1),所以过点(-1,2,0)且方向向量为
(1,2,-1)的直线方程为 (x+1)/1=(y-2)/2=z/(-1) 将这条直线方程与平面方程联立，解一个三元一次方程组可得 x=-5/3,y=2/3,z=2/3. 因此所求投影即为
(-5/3,2/3,2/3).

求点p(-1，2，0)在平面x+2y-z+1=0上的投影

解：
过点（-1，2，0）且垂直平面x+2y-z+1=0的直线的方向向量就是该平面的法向量，由此可得该直线的点向式（对称式）方程为
(x+1)/1=(y-2)/2=z/(-1)
化为引数式
{ x=t-1
{ y=2t+2
{ z=-t
代入平面方程x+2y-z+1=0，得
(t-1)+2(2t+2)-(-t)+1=0
解得，t=-2/3
故所求投影为（-5/3，2/3，2/3)

求点（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0上的投影 线上等啊

充分利用法向量来求解
1.平面方程简化为：X·（1,2，-1）=0，这里X为未知向量座标，（1,2，-1）为法向量。法向量意为与平面垂直的一个向量。
2.已知点（-1,2,0）的投影，可以理解为该点作垂线一条与平面的交点。
垂线必然与法向量共线，因为都与平面垂直。所以设垂线段的向量为t（1,2，-1），投影点座标为（-1,2,0）+t（-1,2，-1），进而代入平面方程得
[（-1,2,0）+t（-1,2，-1）]·(1,2,-1)+1=0, 解得t=-2/3
投影点为1/3(-5,2,2)

求x+1/2=y/1=z-1/-1在x+2y-z+1=0平面的投影方程

直线方程改为，x-2y-1=0, y+z-1=0
设过已知直线的平面（束）方程为：x-2y-1+t(y+z-1)=x+(t-2)y+tz-1-t=0 (t:引数) ..... （*）
其法向量（1，t-2,t）垂直于已知平面的法向量（1,2，-1）
1+2（t-2）-t=0, t=3代入 （*）
垂直于已知平面的平面方程就是 x+y+3z-4=0
投影直线方程为：
x+y+3z-4=0， x+2y-z+1=0

点（1,-2，4）在平面2X-3Y+Z-4=0上的投影点是？

平面：2X-3Y+Z-4=0
法向量为(2,-3,1)
令投影点为(x,y,z)
则有：(1-x)/2=(-2-y)/-3=(4-z)/1=k
即：x=1-2k,y=3k-2,z=4-k
代入平面方程，有：2(1-2k)-3(3k-2)+(4-k)-4=0
2-4k-9k+6+4-k-4=0
k=8/14=4/7
故投影点为(-1/7,-2/7,24/7)
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