空间向量怎样过定点求平面法向量

Question

如题 急啊~~ 谢谢

Answer 1

用向量的外积来做,先选两个面上的不共线的向量，然后做外积即可.
关于外积怎么做,可以参考大学一年级的解析几何.

Answer 2

(43) 平面法向量的求法及其应用
嵩明县一中 吴学伟
引言：本节课介绍平面法向量的三种求法,并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。其中重点介绍外积法求平面法向量的方法，因为此方法比内积法更具有优越性,特别是在求二面角的平面角方面。此方法的引入，将对高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确，那么每年高考中那道12分的立体几何题将会变得更加轻松。
一、 平面的法向量
1、定义：如果 ，那么向量 叫做平面 的法向量。平面 的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
2、平面法向量的求法
方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面 的法向量 [或 ，或 ]，在平面 内任找两个不共线的向量 。由 ，得 且 ，由此得到关于 的方程组，解此方程组即可得到 。
方法二：任何一个 的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是 的一次方程。 ，称为平面的一般方程。其法向量 ;若平面与3个坐标轴的交点为 ,如图所示,则平面方程为: ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。
方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积 为一长度等于 ，（θ为 , 两者交角，且 ），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为 的方向, 。
（注：1、二阶行列式: ；2、适合右手定则。）
例1、 已知， ，
试求（1）： （2）：
Key: (1) ;
例2、如图1-1,在棱长为2的正方体 中，
求平面AEF的一个法向量 。
二、 平面法向量的应用
1、 求空间角
(1)、求线面角：如图2-1，设 是平面 的法向量，
AB是平面 的一条斜线， ，则AB与平面
所成的角为：
图2-1-1:
图2-1-2:
(2)、求面面角:设向量 ， 分别是平面 、 的法向量，则二面角 的平面角为：
（图2-2）;
(图2-3)
两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图2-2中， 的方向对平面 而言向外， 的方向对平面 而言向内；在图2-3中， 的方向对平面 而言向内， 的方向对平面 而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角 的平面角。
2、 求空间距离
（1）、异面直线之间距离:
方法指导：如图2-4,①作直线a、b的方向向量 、 ，
求a、b的法向量 ，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；
②在直线a、b上各取一点A、B，作向量 ；
③求向量 在 上的射影d，则异面直线a、b间的距离为
,其中
（2）、点到平面的距离:
方法指导：如图2-5,若点B为平面α外一点，点A
为平面α内任一点，平面的法向量为 ，则点P到
平面α的距离公式为
（3）、直线与平面间的距离:
方法指导：如图2-6,直线 与平面 之间的距离：
，其中 。 是平面 的法向量

（4）、平面与平面间的距离:
方法指导：如图2-7,两平行平面 之间的距离：
，其中 。 是平面 、 的法向量。
3、 证明
（1）、证明线面垂直：在图2-8中, 向是平面 的法向量， 是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（ ）。
（2）、证明线面平行：在图2-9中, 向是平面 的法向量， 是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（ ）。
（3）、证明面面垂直：在图2-10中， 是平面 的法向量， 是平面 的法向量，证明两平面的法向量垂直（ ）
（4）、证明面面平行：在图2-11中, 向是平面 的法向量， 是平面 的法向量，证明两平面的法向量共线（ ）。
三、高考真题新解
1、（2005全国I，18）（本大题满分12分）
已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB‖DC， 底面ABCD，且PA=AD=DC= AB=1，M是PB的中点
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小
解:以A点为原点,以分别以AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz如图所示.
， ，设平面PAD的法向量为
， ，设平面PCD的法向量为
， ，即平面PAD 平面PCD。
， ，
， ，设平在AMC的法向量为 .
又 ,设平面PCD的法向量为 .
.
面AMC与面BMC所成二面角的大小为 .
2、(2006年云南省第一次统测19题) (本题满分12分)
如图3-2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
已知AB＝AA1＝a，BC＝ a，M是AD的中点。
(Ⅰ)求证：AD‖平面A1BC；
(Ⅱ)求证：平面A1MC⊥平面A1BD1；
(Ⅲ)求点A到平面A1MC的距离。
解:以D点为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.
, ,设平面A1BC的法向量为
又 , , ,即AD//平面A1BC.
, ,设平面A1MC的法向量为: ,
又 , ,设平面A1BD1的法向量为: ,
, ,即平面A1MC 平面A1BD1.
设点A到平面A1MC的距离为d,
是平面A1MC的法向量,
又 , A点到平面A1MC的距离为: .
四、 用空间向量解决立体几何的“三步曲”
(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）
（3）、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）