量子力学是如何解决芝诺悖论的

Question

希望能如霍金一样，把很深奥的量子力学原理，用很通俗的语言表述出来，让基本上不懂量子力学的人也能读得懂。但希望所给出的观点是权威性的。当然，也可以是你自己独创的观点，但请注明。

Answer 1

量子力学是如何解决芝诺悖论的
首先，我不赞同你的如下观点——“如霍金一样，把很深奥的量子力学原理，用很通俗的语言表述出来，让基本上不懂量子力学的人也能读得懂。”我可以负责任地跟你说，别说普通人弄不懂量子力学了，就是大科学家，也没有真懂量子力学的。至少有以下三位量子力学权威的话可以为证：1）推出量子力学的正统诠释的哥本哈根学派的领袖人物玻尔曾说：“如果谁没被量子力学搞得头晕，那他就一定是不理解量子力学。”2）千年才出一位的科学巨匠爱因斯坦说：“我思考量子力学的时间百倍于广义相对论，但依然不明白。”3）提出了量子力学的第三种表述（路径积分）的费曼说：“我们知道它如何计算，但不知道它为何要这样去计算，但只有这样去计算才能得出既有趣又有意义的结果。”

其次，我想提醒你注意芝诺在提出他的悖论时所默认的逻辑次序是与现代物理有所不同的：芝诺把时空概念置于逻辑起点，运动的概念是建立于时空概念之上的；但现代物理的逻辑却有了微妙的变化。比如相对论中将光速置于本源的位置，时间间隔是由光镜构成的自然钟定义的，空间间隔是由光钟与光速共同定义的。单从这一改变，就使得芝诺悖论不复存在了，因为在相对论看来，运动（尤其是光的恒定速度的真空运动）才是更根本的，整个逻辑次序被颠倒过来了！再比如量子力学中，虽未直接颠覆运动与时空的逻辑次序，但它至少将运动与时空置于同等地位！来看看量子力学的核心公式吧！ΔpΔx≥h/2π，ΔEΔt≥h/2π——h/2π是约化普朗克常数；Δ表示不确定度（测不准的程度）；动量p与能量E都含有速度的成分，即都与运动密切相关；x是空间坐标，t是时间坐标。两个公式都是两个量的乘积与一个普适常数的关系，既然是乘积，并且是满足交换律的乘积，这就表明，空间与动量所含的运动处于同等的地位，时间与能量中所含的运动处于同等的地位！亦即，运动与时空在这个量子力学核心公式里没有谁决定谁的问题，而是相互制约的关系——如果考察的时间极短，则相应的能量中所含的运动范围就会极大；如果考察的空间极小，则相应的动量中所含的运动的范围就会极大。你所说的“物体在某个很短的时间间隔内静止”直接就与“ΔEΔt≥h/2π——如果考察的时间极短，则相应的能量中所含的运动范围就会极大（所谓‘运动范围极大’是说物体的运动速度是在某个很大的数值到零之间不确定地迅速变化着）”矛盾！因此，你如果承认量子力学是对的，那你推理的逻辑起点就给它否定掉了，后面的一系列结论自然也都被一并否定了。

再次，说说最小时间段和最小空间段——普朗克时间与普朗克空间的问题：最小时空元的概念不是量子力学的直接结论，而是量子力学与广义相对论结合所导致的一个重要推测。之所以普朗克时空最小，不是因为你说的“假设一个空间段是绝对不可分的”那样是由于不可分才最小，而是因为到了那个时空尺度，时空极度扭曲，其拓扑结构千变万化且瞬息万变，使得时间的先后、空间的前后等一类基本的时空概念都失去了意义（更别说时空的度量了），亦即，再小就是混沌一片根本无法使用时空概念了！简言之是因为到了失去时空本来意义的临界点，所以普朗克时空才最小。

最后，我想强调一下量子运动与我们日常熟知的运动（也正是芝诺所描述的那种运动）是大相径庭的：量子运动神秘莫测，粒子的速度与位置似乎都是可以大范围地突变（在此意义上有超光速的问题），粒子时而在此、时而又突然出现在很远的某处；时而慢如蜗牛、时而又快似闪电……量子运动恰如一大团迷雾，因此，像爱因斯坦那样的众多顶级的科学家都会被量子力学困扰一生！也因此，芝诺悖论在量子力学的框架内是没有多少意义的，因为量子运动迥然不同于经典运动。下面引述的内容是我以前答题时的描述，如果你还想对量子运动是何等的奇异有更多一些的了解，不妨看看。

……
尽管日常语言无法精确地描述奇异的微观世界，但我们所熟悉的语言还只有日常语言；微观世界我们从未真正的体验过，所以我们没有微观语言。目前最好的语言就是数学公式的推演了，而一切描述性的关于微观图像的说法都是似是而非的。但是既然我们不能很专业地只讨论数学，那我们还是要使用一些形象化的日常语言尽力对微观世界进行一些一鳞半爪式的描述。以下的描绘肯定不是精确的，但有一定的启发性。
我通常是这样来想象一个自由的、且近期尚未与别的粒子相互作用过的微观粒子——它是一团云雾和一个点粒子的统一体，这团云雾的尺度大约就是该粒子的德布罗意波长的大小，点粒子在这团云雾的范围内（严格来说，它应遍布全空间，但超出这个云雾范围的几率很小，暂时忽略不计）忽而出现在这里、忽而又在那里冒出（某一片刻，粒子在此处向真空交出了它的全部能量从而“融化”到真空里；下一个片刻，另一处的真空又突然给出一些能量“重塑”了这个粒子），这种极快速的、随机的在不同位置的“生生灭灭、进进出出”正表现出一团云雾的样子。
接下来看我特别选定的三种电子：1）热电子——其动能等于室温下电子的平均动能，其德布罗意波长约为6纳米（10^-9m）；2）低能电子——其动能等于130几伏特的电场中获得的能量，其德布罗意波长约为1埃（10^-10m），这差不多正是一个氢原子的尺度；3）高能电子——其动能等于一万五千亿伏特（10^12V）的电场中获得的能量，其德布罗意波长约为1费米（10^-15m），这差不多正是一个质子或中子的尺度。
再看这三种电子在原子以及原子核面前的表现：1）热电子这团云雾在尺度上比氢原子大近百倍，而横截面积则大上千倍，它俩相遇有点儿像飞机穿过一大块积雨云，彼此几乎都没啥变化。当然还是有一点两者产生相互作用的几率（这种作用的细节与下述第二种情况类似）。2）低能电子这团云雾的尺度与氢原子相当，它将产生不少与相互作用有关的后果，只有一点几率是绕过原子就像第一情况那样。学习过量子力学基础内容的人都会记得一维条件下的入射平面波经过有限高有限宽的势垒（或有限深有限宽的势井）后部分反射部分透射（或陷入井中被约束）的情景，现在原子中的绕核电子对外来低能电子来说就有点像势垒，而其中的原子核就象势井，虽是三维情况，但大体仍是反射、透射及约束这三种情况。碰到原子后的电子云雾变得复杂：它开始随时间而不断扩展，一部分向入射的反方向扩展，这对应着反射波，也就是对应着反弹回去的几率；还有一部分“隧穿”过原子，即透射波；还有一小部分变成围绕核的电子云，对应着形成负离子的几率；还有很小很小的一部分深入核中（详见下述）。3）高能电子的那团云雾相当集中，对原子绕过、反射、透射等的几率都很小，它就像一根针，轻易即可刺破原子这个“大气球”而深入核中甚至质子或中子之中。电子与核子的相互作用基本上仍是电磁的，不必考虑强相互作用，因为电子根本就不带色荷。质子带正电，对电子就相当于势井。中子虽不带电，但它有磁矩，可相当于微弱的势井或势垒。夸克有带电，也相当于势井或势垒。它们对电子都会出产生反射透射等的影响。这么高能的电子还可通过弱作用（弱电统一的能标已基本达到）创造一系列正反夸克对（它们形成新粒子）导致更复杂的局面（我也不清楚，就不能继续说了）……

Answer 2

┴———————┴————┴———┴——┴——┴—— A B C D E F…… 阿基里斯在A点时，乌龟在B点；他追到B，它爬到C；他追到C，它爬到D，……我们看到，阿基里斯离乌龟越来越近,也就是，AB，BC，CD，……这些线段越来越短，每个都只有前一个的1／10,但是每一个线段的长度都不会是0，这就是说,当阿基里斯按上面的过程去追乌龟时，在任何有限次之内他都追不上乌龟。 那么，阿基里斯真的追不上乌龟了吗? 当然不是。所以会产生上述困难，是因为忽视了一个十分重要的因素：由于那些线段越来越短，阿基里斯跑完那些线段所用的时间也越来越短，下一次只相当于上一次的1/10。 芝诺悖论的关键是使用了两种不同的时间测度。原来，我们用来测量时间的任何一种“钟”都是依靠一种周期性的过程作标准的。如太阳每天的东升西落，月亮的圆缺变化，一年四季的推移，钟摆的运动等等。人们正是利用它们循环或重复的次数作为时间的测量标准的。 芝诺悖论中除了普通的钟以外，还有另一种很特别的“钟”，就是用阿基里斯每次到达上次乌龟到达的位置作为一个循环。 用这种重复性过程测得的时间称为“芝诺时”。例如，当阿基里斯在第n次到达乌龟在第n次的起始点时，芝诺时记为n，这样，在芝诺时为有限的时刻,阿基里斯总是落在乌龟后面。但是在我们的钟表上,假如阿基里斯跑完AB(即100米)用了1分钟，那么他跑完BC只要6秒钟，跑完CD只需 0.6秒，实际上，他只需要1 1/9分钟就可以追上乌龟了。 因此，芝诺悖论的产生原因，是在于“芝诺时”不可能度量阿基里斯追上乌龟后的现象。在芝诺时达到无限后，正常计时仍可以进行，只不过芝诺的“钟”已经无法度量它们了。 这个悖论实际上是反映时空并不是无限可分的，运动也不是连续的。