已知a，b是实数，1和-1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求函数f（x）在[-2，2]上的最值；（2）

Question

已知a，b是实数，1和-1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求函数f（x）在[-2，2]上的最值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+3x+8，求g（x）的极值点．

Answer 1

（1）由f（x）=x³+ax²+bx，得f'（x）=3x²+2ax+b．
∵1和-1是函数f（x）=x³+ax²+bx的两个极值点，
∴f'（1）=3+2a+b=0，f'（-1）=3-2a+b=0，解得a=0，b=-3．
∴f′（x）=3x²-3，
当f′（x）＞0，解得x＞1或x＜-1，
∴函数f（x）在[-2，-1）和[1，2]上为增函数，在[-1，1]上为减函数，
∴f（-1）=2，f（1）=-2，f（-2）=-2，f（2）=2，
故最大值为2，最小值为-2．
（2）∵g′（x）=f（x）+3x+8=x³-3x+3x+8=x³+8，
令g′（x）=0，解得x=-2，
当g′（x）＞0时，即x＞-2时，函数单调递增，
当g′（x）＜0时，即x＜-2时，函数单调递减，
∴当x=-2时，函数有极小值，
故g（x）的极值点为x=2