已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x^3+ax^2+bx的两个极值点。

Question

已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x^3+ax^2+bx的两个极值点。（1）求a和b的值；
（2）设函数g（x）的导函数g’（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点。（3）设h（x）=f（f（x））-c，其中c属于【-2，2】，求函数y=h（x）的零点个数。
主要是第三问。

Answer 1

（1）f'(x)=3x^2+2ax+b
　　 ∵1和-1是函数f(x)=x^3+ax^2+bx的两个极值点
　　 ∴b/3=-1 -2/3a=0 从而 a=0 b=-3
（2）g'(x)=x^3-3x+2 g'(x)=0的根是：x1=x2=1 x3=-2 g''(x)=3x^2-3 g''(-2)>0
∴当x=-2时，g(x)取得极小值。在x=1的两边，g'(x)均大于0，所以x=1不是极值点。
（3）f(x)=x^3-3x
　　f[f(x)]=(x^3-3x )^3-3(x^3-3x )=(x^3-3x)[(x^3-3x )^2-3]=x(x^2-3)(x^3-3x+√3) (x^3-3x-√3)
　　h(x)=x(x^2-3)(x^3-3x+√3) (x^3-3x-√3) -c
　　当c=0时，y=h（x）的零点个数是3，分别是0，√3，-√3；
　　令h'(x)=0 解得：x=-1 x=1 h(1)=-2-c h(-1)=2-c
　　函数y=h（x）的图像是y=x(x^2-3)(x^3-3x+√3) (x^3-3x-√3)上下平移c个单位而得，
所以当c∈(-2,2)时，y=h（x）的零点个数是3，当c=-2 或 c=2时，y=h（x）的零点个数是2。

Answer 2

f'(x) = 3x^2 + 2ax + b ，而1和-1是f(x)的极值点，∴f'(1)和f'(-1)均为0 ，得到方程组3+2a+b = 0、3-2a+b = 0 ，∴a = 0 ，b = -3 ，f(x) = x^3 - 3x
∴g'(x) = x^3 - 3x + 2 = (x-1)^2·(x+2) ，当g'(x) = 0时得到g(x)极值点1和2
h(x) = f[f(x)] = (x^3 - 3x)^3 - 3(x^3 - 3x) - c
h'(x) = 3(x^3 - 3x)^2·(3x^2 - 3) - 3(3x^2 - 3)
= 3(3x^2 - 3)·[(x^3 - 3x)^2 - 1]
= 9(x+1)(x-1)(x^3 - 3x + 1)(x^3 - 3x - 1)
得到h(x)的6个极值点：1、-1、(3+√5)/2、(3-√5)/2、（-3+√13）/2、（-3-√13）/2
有(-3-√13)/2 < -1 < (3-√5)/2 < (-3+√13)/2 < 1 < (3+√5)/2
h[(-3-√13)/2] = 1 - 3 -c = -2-c
h(-1) = 2-c
h[(3-√5)/2] = -1 + 3 - c = 2- c
h[(-3+√13)/2] = 1 -3 -c = -2-c
h(1) = -2-c
h[(3+√5)/2] = -1 + 3 - c = 2-c
∵c∈[-2,2]∴2-c∈[0,4] ，-2-c∈[-4,0]
∴h[(3-√13)/2]·h(-1) < 0、h[(3-√5)/2]·h[(-3+√13)/2]<0、h(1)·h[(3+√5)/2]<0
∴根据连续函数的介值定理，h(x)的零点分布在以下区间：
[(3-√13)/2 ，-1] 、[(3-√5)/2 ，(-3+√13)/2]、[1 ，(3+√5)/2] ，共3个零点

追问

c=正负2的时候不一样吧~~我看不太懂，没学呢个定理~