三个概率题求解。1、设随机变量X的概率密度为f(x)={c+x,0<x<1； 0, 其他}。 则c为？

Question

1、设随机变量X的概率密度为

2、设X1,X2，X3，X4是取自总体X的样本，下列统计量中作为总体均值μ的无偏估计量，最有效的是（ ）

3、

Answer 1

1. 密度函数要符合正则性：整体积分=1，因此f(x)在[0,1]区间上的积分为1，而其原函数为F(x)=cx+1/2*x^2, 由F(1)-F(0)=1可以算得 c=1/2.
2. 算方差比较大小即可
第一个的方差=[(1/4)^2+(1/4)^2+(1/2)^2]*总体方差=(3/8)*总体方差
第二个的方差=[(1/4)^2+(1/4)^2+(1/4)^2+(1/4)^2]*总体方差=(1/4)*总体方差
第三个的方差=[(1/6)^2+(1/6)^2+(1/6)^2+(1/2)^2]*总体方差=(1/3)*总体方差
第四个的方差=[(1/3)^2+(1/3)^2+(1/6)^2+(1/6)^2]*总体方差=(5/18)*总体方差
所以第二个方差最小。选B。

当然如果你熟悉一个结论的话那么很快就知道应该选B。结论是：由n个样本观测值的任一线性组合形成的无偏估计中，样本均值的方差最小。
3. 直接利用Fisher定理可知，样本均值仍是正态的，均值与总体一样，方差变为总体方差的n分之一。
即样本均值～N(1,4/n)。