已知x，y ∈R求证|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy大于等于0

Answer 1

证明：

（一）充分性：

若|X+Y|=|X|+|Y|
则|X+Y|^2=(|X|+|Y|)^2
即：X^2+Y^2+2XY=|X|^2+|Y|^2+2|X||Y|
∴XY=|X||Y|
∴XY≥0
∴|X+Y|=|X|+|Y|的充分条件是XY≥0

（二）必要性：

若xy≥0
则分为以下几种情况：
（1）当x、y＞0时
│x+y│=x+y=|x│+│y│
（2）当x、y＜0时
│x│=-x │y│=-y
│x+y│=-（x+y）=-x+（-y）=│x│+│y│
（3）当X与Y中有一个为0时，显然有
│x+y│=x+y=|x│+│y│
∴|X+Y|=|X|+|Y|是XY≥0的必要条件

综上：|X+Y|=|X|+|Y|的充要条件是XY≥0

希望可以采纳

Answer 2

解答:证明:充分性:如果xy=0，那么，①x=0，y≠0②x≠0，y=0③x=0，y=0于是|x+y|=|x|+|y|明显成立.
如果xy＞0即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0
当x＞0，y＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|，
当x＜0，y＜0时，|x+y|=-x-y=(-x)+(-y)=|x|+|y|，
总之，当xy≥0时，|x+y|=|x|+|y|.
必要性:由|x+y|=|x|+|y|及x，y∈R
得(x+y)2=(|x|+|y|)2即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2
得|xy|=xy所以xy≥0故必要性成立，
综上，原命题成立.
故结论成立.

求采纳

Answer 3

证明：
必要性：
|x+y|=|x|+|y|
两边平方：
x^2+2xy+y^2=x^2+2|xy|+y^2
所以：
|xy|=xy>=0
所以：xy>=0

充分性：
以上过程逆推即可

命题得证