高一数学难题求解

Question

x,y是一个矩形的两邻边长，且x+y+4=2xy
（1）分别求出x,y的取值范围
（2）求这个矩形面积的最小值
（3）求这个矩形周长的最小值

Answer 1

1，这题很明显，x、y的地位是平行的，所以两个取值范围应该是一样的。
分离变量 x(1-2y)=-4-y, 所以 x=（4+y）/(2y-1)
x,y只需要在满足等式的条件下都大于零即可，
所以由x>0知道右边分式大于0，
也就等价于 （4+y)(2y-1)>0，解得 y<-4(舍掉）,y>1/2
所以他们的取值范围都应该是（1/2，无穷）

2，求面积就是求xy的最小值
把x=（4+y）/(2y-1)代入得 xy=（4y+y^2)/(2y-1)=f(y),y>1/2
因为在定义域内函数f（y）连续并可导，
故可求导数，令导数等于零可求得最小值处y的值为2（过程自己求求看），
代入知最小值为 4。
3，周长即为2（x+y）的最小值
由已知x+y+4=2xy知道 2(x+y)=4xy-8
也就是周长为面积的4倍减去8
把面积的最小值4代入即得周长最小值8。

Answer 2

（1）y+4=x(2y-1)>0;
得y>1/2;
由对称性得x>1/2;
（2）2xy=x+y+4>=2(xy)^1/2+4;
解得xy>=4;
x+y>=4;
当且仅当x=y=2时取等号；
故面积最小值为4
（3）周长最小值为8

Answer 3

lz莫非也考了这题，我也正纠结呢，同求同求

Answer 4

你是红岭的吧。。。我也很郁闷这题。。。

Answer 5

做法别人已经解决了，我说一下思路。
你先要知道这道题考得是什么知识点：函数与不等式。想不到，看下去。
首先第一小问，问的是变量的范围，想到什么？对了，定义域。没有分母，没有根号，但是因为是现实问题，所以x和y都要大于0。所以就用x表示y，等式两边都大于0。再反之亦然。
第二和第三小问都是一样的。一个问的是xy的范围，另一个问的是x+y的范围。我们已知什么？一个等式，巧了，一边就是和，一边就是积，而且x和y都大于0，所以想到什么？基本不等式，也是一边是和，另一边是积的形式。