A,B是n阶方阵，若AB＝0，那么R（A）+R（B）≤n

Question

老师说把AB＝0看成AX＝0是一个齐次线性方程组，怎么把B按什么分，使得X的解就是B，可是这我就有点不理解，，还有最后得出的自由未知量是n-R（A），那为什么R（B）≤n-R（A），这一直不懂，自由未知量指的不就是X中任意赋值的未知数的个数吗，怎么和X中的秩有关系？

Answer 1

AB=0 r(A)+r(B)<=n的证明如下：

这里与齐次线性方程的基础解系有关

AB=0，则说明B的列向量都是AX=0的解

因此B的列向量是AX=0解集的子集

则B列向量组的秩，不大于方程组AX=0的基础解系的个数，即n-r(A)

即r(B)<= n-r(A)

因此：r(A)+r(B)<=n

Answer 2

因为 AB=0, 所以B的列向量都是齐次线性方程组Ax=0 的解
所以 B 的列向量可由 Ax=0 的基础解系线性表示
所以 r(B)<=n-r(A)
所以 r(A)+r(B) <= n.
A,B 是非零矩阵, 则 r(A)>=1, r(B) >=1
只能得到 r(A) <= n-r(B) <= n-1 < n
同样有 r(B)<n
但不一定 r(A)+r(B)<n.
如
A=
1 0
0 0
B=
0 0
1 0
AB=0, 但 r(A)+r(B)=1+1=2=n

追问

在吗

为什么能用基础解析表示B就能得出n-R（A）

这个不太明白

Answer 3

基础解系个数为n－R（A）
也就是n-R(A)个向量，可以表示所有的解，所以任意个数的解组成的向量组的秩是不可能超过n-R(A)的
而B的列向量，正是如此。

追问

n-R（A）是指的列向量B的秩吗？

B的列向量组是按行分得到的，还是按列分得到的？

追答

基础解系（n-RA个列向量）
那么任意解（列向量），都可以被基础解系线性表示。
那么任意多个解（列向量）组成的向量组，都可以被基础解系线性表示。那么这样的向量组的秩，是不可能超过n-RA的
矩阵B的 列向量组，就是其中的一个。

Answer 4