证明:用反证法，设
lim (x趋于a) f'(x) = L，就是要证 L = f'(a)，那么我们先假设L > f'(a)。
如此一来，取L' = (L+f'(a)) / 2 > f'(a)，根据函数极限的定义，对于
epsilon = (L-f'(a))/2 > 0，存在一个x的邻域 delta(x)，使得在这个邻域内的任意一个x，都有，
| f'(x) - L | < epsilon, 推出 f'(x) > L - epsilon = L'。
然后考虑在a点导数的定义:
lim (x趋于a) [f(x) - f(a)] / (x-a) = f'(a)，
考虑闭区间 [a,x] (或者 [x,a]，取决于从哪个方向趋近于a，不过无所谓的)，由于函数在该闭区间上连续，在开区间 (a,x)上可导，故根据拉格朗日微分中值定理，存在 c 属于 (a,x)，使得
[f(x) - f(a)] / (x-a) = f'(c)，
接着，由于当x趋于a时， c也是趋于a的，所以最终，c一定会进入到刚才所说的x的邻域 delta(x)(注意我的epsilon 和邻域都已经取定了，对于固定的一个区间，只要c充分接近a，就一定会进入到这个区间)，到那个时候，就总是有
f'(c) > L'，这样一来，当c趋于a时，由于函数极限的保号性，就有
f'(a) >= L' > f'(a)，这显然是一个矛盾。
同理，你也可以证明，当L < f'(a)时也会出现矛盾，L'的取法还是一样， epsilon 你取 (f'(a) - L)/2即可。
1、函数在数学上的定义：给定一个非空的数集A,对A施加对应法则f,记作f（A）,得到另一数集B,也就是B=f（A）.那么这个关系式就叫函数关系式,简称函数。
2、设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个正数l，使得对于任一x∈D有(x士l)∈D，且f(x+l)=f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。周期函数的定义域 D 为至少一边的无界区间，若D为有界的，则该函数不具周期性。
3、在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。
证明：用反证法，设
lim (x趋于a) f'(x) = L，就是要证 L = f'(a)，那么我们先假设L > f'(a)。
如此一来，取L' = (L+f'(a)) / 2 > f'(a)，根据函数极限的定义，对于
epsilon = (L-f'(a))/2 > 0，存在一个x的邻域 delta(x)，使得在这个邻域内的任意一个x，都有，
| f'(x) - L | < epsilon, 推出 f'(x) > L - epsilon = L'。
然后考虑在a点导数的定义：
lim (x趋于a) [f(x) - f(a)] / (x-a) = f'(a)，
考虑闭区间 [a,x] （或者 [x,a]，取决于从哪个方向趋近于a，不过无所谓的），由于函数在该闭区间上连续，在开区间 (a,x)上可导，故根据拉格朗日微分中值定理，存在 c 属于 (a,x)，使得
[f(x) - f(a)] / (x-a) = f'(c)，
接着，由于当x趋于a时， c也是趋于a的，所以最终，c一定会进入到刚才所说的x的邻域 delta(x)（注意我的epsilon 和邻域都已经取定了，对于固定的一个区间，只要c充分接近a，就一定会进入到这个区间），到那个时候，就总是有
f'(c) > L'，这样一来，当c趋于a时，由于函数极限的保号性，就有
f'(a) >= L' > f'(a)，这显然是一个矛盾。
同理，你也可以证明，当L < f'(a)时也会出现矛盾，L'的取法还是一样， epsilon 你取 (f'(a) - L)/2即可。保证可以证的出来，不是一楼说的有问题。
还有问题可以追问。本回答被网友采纳
a点有极限，则点a处f可导，且存在二阶导数（ 二阶导大于零，a为极小值；二阶导小于零，a为极大值 ）
二阶导数存在，则a点的导数可导
所以f的导函数在a点处连续
连续不一定可导，可导一定连续 这是定理
就是这么证明的
比如f(x)=x^2*sin(1/x)且x=0时让f(0)=0
函数在0处可导，但f(x)的导数在0处不连续。
一个函数可导,怎么证明它的导数连续?
lim (x趋于a) f'(x) = L，就是要证 L = f'(a)，那么我们先假设L > f'(a)。如此一来，取L' = (L+f'(a)) \/ 2 > f'(a)，根据函数极限的定义，对于 epsilon = (L-f'(a))\/2 > 0，存在一个x的邻域 delta(x)，使得在这个邻域内的任意一个x，都有，| f'(x) - L |...
一个函数可导,怎么证明它的导数连续
同样地，可以证明当 L < f'(a) 时，也会出现矛盾。因此，我们的初始假设不成立，最终得到 L = f'(a)，证明了函数的导数连续。
一个函数可导,怎么证明它的导数连续
证明：用反证法，设 lim (x趋于a) f'(x) = L，就是要证 L = f'(a)，那么我们先假设L > f'(a)。如此一来，取L' = (L+f'(a)) \/ 2 > f'(a)，根据函数极限的定义，对于 epsilon = (L-f'(a))\/2 > 0，存在一个x的邻域 delta(x)，使得在这个邻域内的任意一个x，都有...
一个函数可导,怎么证明它的导数连续
用反证法证明一个函数的导数连续。设函数的导数极限为L，即lim (x趋于a) f'(x) = L。要证L = f'(a)。假设L > f'(a)，取L' = (L f'(a)) \/ 2 > f'(a)。根据函数极限定义，存在邻域delta(x)，对于任意x在此邻域内，| f'(x) - L | L - epsilon，其中epsilon = (L-f...
如何证明导数连续 可导
可导：函数在该点连续，左导数等于右导数。用反证法。设lim (x趋于a) f'(x) = L，就是要证 L = f'(a)，那么我们先假设L > f'(a)。取L' = (L+f'(a)) \/ 2 > f'(a)，根据函数极限的定义，对于 epsilon = (L-f'(a))\/2 > 0，存在一个x的邻域 delta(x)，使得在这个邻域...
可导必连续怎么证明
可导必连续的证明如下：设y=f(x)在x0处可导，f'(x0)=A可导的充分必要条件有f(x)=f(x0)+A(x-x0)+o（│x-x0│）当x→x0时，f(x)=f(x0)+o（│x-x0│）由定理：当x→x0时f(x)→A的充分必要条件是f(x)=A+a(a是x→x0时的无穷小）得，limf(x)=f(x0)。导数，也叫...
高数中为什么一个函数可导就一定连续呢?可以用公式证明一下吗?
因为函数连续就是说每一点的左极限和右极限存在且相等 而函数可导就暗含了这个条件 所以函数可导就一定连续
函数在某点可导,是不是就一定连续?
函数在某一点可导，就是函数在该点连续且左右两侧的导数相等，也就是说，只要满足这两个条件，函数在该点的导数就存在。设a=函数在该点连续，b=函数在该点左右两侧的导数相等 则函数在某点满足条件集合{a，b}，则函数在该点就可导 导函数在该点也连续，就意味着导函数在该点的左右极限相等且等于...
函数可导一定连续吗?
可导一定连续怎么证明，如下：设f(x)在x0处可导,导数为f'(x0)；lim[f(x)-f(x0)](x->x0)=lim{[f(x)-f(x0)]\/(x-x0)}*(x-x0)=lim{[f(x)-f(x0)]\/(x-x0)}*lim(x-x0)=f'(x0)*0=0 所以说f(x)在x0处连续。知识拓展：函数可导性与连续性 连续点：如果函数在某...
怎样判断可导函数的连续性?
判断一个函数是否可导，其步骤如下：1、检查函数是否在定义域内连续。如果函数在定义域内不连续，那么它一定不可导。这是因为函数的导数是在其定义域内连续函数的基础上计算的。2、检查函数在定义域内的极值点。极值点是函数值发生变化的点，即函数在某一点的导数为零。如果一个函数在定义域内有极值点...
