两道抽象代数选择题： 1.g是群G的一个元素，假设集合{g^10,g^6, g^15}生成G,那么

Question

下列哪个数可能不是G的阶数: A .12 B.7 C.30 D. ABC都是
2. 如果一个群是交换群且它的每个非单位元元素g都是质数阶，那么我们称这样的群是“好群”。至多同构，这样的群, ≤25阶的有几个？
请给出理由

Answer 1

1，g=(g^10)*(g^6)*(g^15)^{-1}，所以{g^10,g^6, g^15}可以生成g，所以G的阶数任意。选D
2，设o(a)=x,o(b)=y，且x,y互素，则o(ab)=xy。
所以第一种好群,Zp,p是素数。有Z2,Z3,Z5,Z7,Z11,Z13,Z17,Z19,Z23共9个
第二种，任意两个元素的阶都不互素。满足要求的只有4,8,16,9,25阶群，对应的群是Z2×Z2,Z2×Z2×Z2,Z2×Z2×Z2×Z2,Z3×Z3,Z5×Z5,共5个
一共14个。

追问

第二种情况也好有道理，虽然答案没有14这个选项……

Answer 2

g^6*g^15/(g^10)^2=g,
g是G的生成元，选D.
2.以剩余类的加群为例，当模是质数时它们都是“好群”。
<=25阶的有2,3,5,7,11,13,17,19，23阶，共9个。