高数问题？？

Question

这里为什么可以令z。=0啊？？？

Answer 1

1. 定义域 x > 0, 原微分方程即 y' = (y/x)ln(y/x) 为齐次方程。令 p = y/x, 则 y = xp，y' = p + xp'，得 p + xp' = plnp, xdp/dx = p(lnp-1), dp/[p(lnp-1)] = dx/x, ln(lnp-1) = lnx + lnC, lnp-1 = Cx, lnp = 1+Cx, p = e^(1+Cx), 即通解是 y = xe^(1+Cx)， y(1) = 1 代入，得 C = -1 所求特解 y = xe^(1-x). 2. 微分方程的特解表明，特征方程必有重根 r = -1， 则微分方程是 y''+2y'+y = 0。 3. z = xln(y/z), 两边分别对 x 求偏导，得 ?z/?x = ln(y/z) + (xz/y)(-y?z/?x/z^2), z?z/?x = zln(y/z) - x?z/?x/z, ?z/?x = [z/(x+z)]ln(y/z). z = xln(y/z), 两边分别对 y 求偏导，得 ?z/?y = (xz/y)(z-y?z/?y)/z^2, yz?z/?y = x(z-y?z/?y), ?z/?y = xz/(xy+yz). 4. 两边对 x 求导，得 f'(x) = cosx - f(x), f'(x) + f(x) = cosx 为一阶线性微分方程， f(x) = e^(-∫dx) [∫cosxe^(∫dx)dx + C] = e^(-x) [∫e^xcosxdx + C] I = ∫e^xcosxdx = ∫e^xdsinx = e^xsinx - ∫e^xsinxdx = e^xsinx + ∫e^xdcosx = e^xsinx + e^xcosx - ∫e^xcosxdx = e^x(sinx + cosx) - I I = (1/2)e^x(sinx+cosx) 通解是 f(x) = e^(-x) [(1/2)e^x(sinx+cosx) + C] = (1/2)(sinx+cosx) + Ce^(-x) f(0) = 0 代入得 C = -1/2. 所求特解 f(x) = (1/2)[sinx+cosx-e^(-x)]