高数的3道问题。急！

Question

不是为了要答案，请尽量详细给出解题过程、思路和用到的知识点。最好能给出这类题的解题思路，谢谢！

Answer 1

1、解：积分区间对称 看到这种类型的 一定首先判断被积函数奇偶性 这题√(4-x^2)为偶函数
另外有一个很重要公式一定要记住 ∫（上限为a，下限为0）√(a^2-x^2)=πa^2/4
因为这是圆面积的1/4
故原式=2∫（上限为2，下限为0）√(4-x^2)=2π

2、由积分中值定理知 ∫（上限为b，下限为a）f(x)dx=(b-a)f(c),c属于(a,b)间
故I=(n+π-n) csin(1/c)=πcsin(1/c)

lim(n趋于无穷) I=lim πcsin(1/c)=π

lim(x趋于无穷) xsin(1/x)=1 这是公式

3、lim(x趋于无穷) [(x+c)/(x-c)]^x=e^lim x ln[(x+c)/(x-c)]=e^lim x ln[1+ 2c/(x-c)]=e^lim x 2c/(x-c)=e^2c

故e^2c=4 得c=ln2

这里用到知识 x=e^lnx 故[(x+c)/(x-c)]^x=e^ x ln[(x+c)/(x-c)]
以及等价无穷小 ln(1+x)~x