高三一条数列不等式证明题，高手请指教，谢谢！

Answer 1

证：
3>2 3^n>2^n
an=3^n-2^n>0，数列各项均为正，1/an >0。
1/a1=1/(3-2)=1
1/an=1/(3^n -2^n)
[1/a(n+1)]/(1/an)=(3^n-2^n)/[3^(n+1)-2^(n+1)]
=(1/3)[3^(n+1)-3×2^n]/[3^(n+1)-2^(n+1)]
=(1/3)[3^(n+1)-2^(n+1)-2^n]/[3^(n+1)-2^(n+1)]
=1/3 -(1/3)2^n/[3^(n+1)-2^(n+1)]
<1/3
0<[1/a(n+1)]/(1/an)<1/3
1/a1+1/a2+1/a3+...+1/an<1+1×(1/3)+1×(1/3)^2+...+1×(1/3)^(n-1) /这一步采用了放缩法。
=1×(1-1/3^n)/(1-1/3)
=(3/2)(1-1/3^n)
=3/2 -(3/2)/3^n
(3/2)/3^n>0 3/2 -(3/2)/3^n<3/2
1/a1+1/a2+...+1/an<3/2，不等式成立。

提示：本题的关键是采用放缩法，放缩后变成熟悉的等比数列求和，从而证得不等式成立。

Answer 2

注意到an=3ⁿ-2ⁿ=2×3ⁿ⁻¹-2×2ⁿ+3ⁿ⁻¹=2(3ⁿ⁻¹-2ⁿ⁻¹）+3ⁿ⁻¹≥3ⁿ⁻¹。
从而有1/an≤1/3ⁿ⁻¹，故原式为：
1/a1+1/a2+...+1/an
=1/(3-2)+1/(9-4)+...+1/(3ⁿ-2ⁿ)
≤1/1+1/3+...+1/3ⁿ⁻¹
=(1×(1-(1/3)ⁿ))/(1-(1/3))
=3/2×(1-(1/3ⁿ))
＜3/2，证毕。

追问

介个。。。你的答案，是乱码了吗(^_^)Y

追答

有吗...那好吧，你看这个图吧

第一行有个打错了，是2×2^(n-1)。

追问

这个好多了，3Q^_^

追答

此题为2012广东理科数学高考题，若还有不懂，你可以百度一下答案。

追问

好的，谢谢啦！