计算极限lim(x→a)(a^x-x^a)/(x^2-a^2) 注意:不可以用洛必达法则，可以用

Question

计算极限lim(x→a)(a^x-x^a)/(x^2-a^2)

注意:不可以用洛必达法则，可以用重要极限，极限存在的法则，等价无穷小……

Answer 1

如图：

说明：洛必达法则，它的原理是泰勒展开，所以用泰勒展开是一模一样的。

Answer 2

分母化成(x+a)(x-a)，其中1/(x+a)→1/2a，不再参与以下计算。
分子插项成为(a^x-a^a)-(x^a-a^a)，并据此分成两个极限来求。
其中第一个极限
=Lim（x→a）a^a【a^(x-a)-1】/(x-a)
因为（a^t-1）/t~Lna，所以
=a^aLna。
其中第二个极限
=Lima^a【(x/a)^a-1】/(x-a)
令x-a=t，则该极限
=a^aLim（t→0）【（1+(t/a)）^a-1】/t
用公式【(1+u)^b=1+bu+Au²+Bu³+Cu^4+…】其中A,B,C都是常数。
在本题中u=t/a，b=a，得到该极限
=a^aLim【（1+t+A(t/a)²+B(t/a)³+C(t/a)^4+…）-1】/t=a^a。
于是本题结果=a^a【Lna-1】/2a。