1的平方加2的平方加上3的平方一直加到N的平方等于多少

Answer 1

求证的方法有很多，我以前是通过组合数的规律来思考的（2n+1）（n+1）n/6
我们可以通过组合数的一共公式来考虑：（n,k）+(n,k+1)=(n+1,k+1),这里用到的是k=2的情况，即（n,2）+(n,3)=(n+1,3)算一下就知道这公式是否正确了。
下面可以计算了。n^2=2(n+1,2)-n,所以1^2+2^2+3^2+…+n^2求和可以分为两部分，
简单的"n"求和就是1+2+……+n=(n+1)n/2
"2(n+1,2)"求和的话，我们先思考“（n+1，2）”的求和，即为（2，2）+（3，2）+（4，2）+……+（n+1,2）,这时利用公式（n,2）+(n,3)=(n+1,3)，令n=3,有（3,2）+(3,3)=(4,3),因为（2,2）=(3,3),所以，（2，2）+（3，2）=（3，3）+（3，2）=（4，3），继续加，（4，3）+（4，2）=（5，3），（5，3）+（5，2）=（6，3）……可以一直加下去，最后得到（n+2,3）,所以“（n+1，2）”的求和答案就是（n+2,3）=(n+2)(n+1)n/6,乘以前面的2，就是(n+2)(n+1)n/3，再减去(n+1)n/2，就等于（2n+1）（n+1）n/6

Answer 2

利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n

2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

另外一个很好玩的做法

想像一个有圆圈构成的正三角形，
第一行1个圈，圈内的数字为1
第二行2个圈，圈内的数字都为2，
以此类推
第n行n个圈，圈内的数字都为n，
我们要求的平方和，就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和。设这个数为r
下面将这个三角形顺时针旋转60度，得到第二个三角形
再将第二个三角形顺时针旋转60度，得到第三个三角形
然后，将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加，
我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1
而总共有几个圈呢，这是一个简单的等差数列求和
1+2+……+n=n(n+1)/2
于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
r=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 3

[n(n+1)(2n+1)]/6