已知函数f(x)=x^2+x-ln(x+1).(Ⅰ)若关于x的方程f(x)=(5...

Question

已知函数f(x)=x^2+x-ln(x+1).(Ⅰ)若关于x的方程f(x)=(5/2)x+m在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数 已知函数f(x)=x^2+x-ln(x+1). (Ⅰ)若关于x的方程f(x)=(5/2)x+m在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数m的取值范围. （Ⅱ）证明：对任意正整数n>1,不等式1+1/2+1/3+·······1/(n-1)>ln[(n+1)/2]都成立.

Answer 1

f(x)=x^2+x-ln[x+1](1)若关于x的方程f(x)=5x/2+m在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数m的取值范围；f(x)=x^2+x-ln[x+1]=5x/2+m化简得：x^2-3x/2-ln[x+1]-m=0记g(x)=
x^2-3x/2-ln[x+1]-mg(x)的定义域为：x>-1由g’(x)=2x-3/2-1/(x+1)=0,解得：x=-5/4（舍去）或1所以g(x)只有一个极值点x=1,位于[0,2],且取得最小值.所以在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,要求：g(1)ln{(k+1)/2}成立
则n=k+1时,左边=1+1/2+1/3+……+1/k-1+1/k>ln{(k+1)/2}+1/k
右边=ln{(k+2)/2}
目标证明：ln{(k+1)/2}+1/k>ln{(k+2)/2}
等价：1/k>ln{(k+2)/2}-ln{(k+1)/2}=ln[(k+2)/(k+1)]
等价：e^(1/k)>(k+2)/(k+1)=1+1/(k+1)
等价：e>{1+1/(k+1)}^k
由于f(k)={1+1/(k+1)}^k的极限为e,且为递增函数.所以e>{1+1/(k+1)}^k成立.因此n=k+1时,不等式也成立
即对于所有n>1不等式1+1/2+1/3+……+1/n-1>ln{(n+1)/2}成立.故得证.