已知函数f(x)=x^2+x-ln(x+1).(Ⅰ)若关于x的方程f(x)=(5/2)x+m在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根，求实数

Question

已知函数f(x)=x^2+x-ln(x+1).
(Ⅰ)若关于x的方程f(x)=(5/2)x+m在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围。

（Ⅱ）证明：对任意正整数n>1，不等式1+1/2+1/3+·······1/(n-1)>ln[(n+1)/2]都成立。

Answer 1

f(x)=x^2+x-ln[x+1]

(1)若关于x的方程f(x)=5x/2+m在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数m的取值范围；
f(x)=x^2+x-ln[x+1]=5x/2+m
化简得：x^2-3x/2-ln[x+1]-m=0
记g(x)= x^2-3x/2-ln[x+1]-m
g(x)的定义域为：x>-1
由g’(x)=2x-3/2-1/(x+1)=0，解得：x=-5/4（舍去）或1
所以g(x)只有一个极值点x=1，位于[0,2]，且取得最小值。
所以在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根，要求：
g(1)<0且g(0)≥0，g(2)≥0，代入得：
1-3/2-ln[2]-m<0，得：m>-1/2-ln[2]
-m≥0，得：m≤0
4-6/2-ln[3]-m≥0，得：m≤1-ln[3]<0
综合得：-1/2-ln[2]<m≤1-ln[3]

(2)证明:对任意的正整数n>1,不等式1+1/2+1/3+……+1/n-1>ln{(n+1)/2}(是2分之n+1)
n=2时，右边=ln[3/2]<1=左边成立
假设n=k(为>1的整数)，不等式1+1/2+1/3+……+1/k-1>ln{(k+1)/2}成立
则n=k+1时，
左边=1+1/2+1/3+……+1/k-1+1/k>ln{(k+1)/2}+1/k
右边=ln{(k+2)/2}
目标证明：
ln{(k+1)/2}+1/k>ln{(k+2)/2}
等价：1/k>ln{(k+2)/2}-ln{(k+1)/2}=ln[(k+2)/(k+1)]
等价：e^(1/k)>(k+2)/(k+1)=1+1/(k+1)
等价：e>{1+1/(k+1)}^k
由于f(k)={1+1/(k+1)}^k的极限为e，且为递增函数。
所以e>{1+1/(k+1)}^k成立。

因此n=k+1时，不等式也成立

即对于所有n>1不等式1+1/2+1/3+……+1/n-1>ln{(n+1)/2}成立。
故得证。