矩阵秩(不)等式汇总与证明

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矩阵秩的性质和不等式在线性代数中起着关键作用。以下是几个定理和结论的简要概述:

定理1：两个矩阵[公式]和[公式]，由于它们的[公式]阶子式相同，根据秩的定义，它们的秩相等。进一步推论，[公式]与[公式]也等秩。

定理2：[公式]的秩与[公式]的关系通过齐次方程组的解来确定。若[公式]和[公式]同解，秩的等价性得以证明。

定理3：矩阵秩的不等式可以通过秩的定义和特殊情况讨论，如当秩小于等于[公式]时，秩的计算规则具体说明了不等式关系。

定理4：子矩阵的秩不超原矩阵，如[公式]，子矩阵[公式]的秩不会超过[公式]的秩。

定理5：矩阵降阶公式表明，如果通过初等变换保持非奇异性，秩会保持不变，如[公式]的秩等于[公式]的秩。

定理6涉及到向量组的线性表示，若向量组[公式]可由[公式]表示，其秩的性质和线性关系得以揭示。

定理7的秩不等式表明，如果[公式]，则[公式]，这是一个重要的不等式形式，可通过构造矩阵并进行初等变换证明。

结论部分强调了秩在某些特殊矩阵结构（如幂等矩阵和对合矩阵）下的条件，以及通过秩的性质来推导其他性质的方法。