线性代数里的关于n阶行列式的一道证明题

Question

a+b a 0 ... 0 0 b a+b a ... 0 0 0 b a+b ... 0 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... a+b a 0 0 0 ... b a+b 证明上面的这个行列式等于【a的（n+1）次减去b的（n+1）次】，再除以（a+b）

Answer 1

按照第一行展开，得Dn＝(a+b)×D(n-1)－ab×D(n-2)，所以
Dn－a×D(n-1)＝b×[D(n-1)－a×D(n-2)]
D1＝a+b，D2＝a^2＋b^2＋ab（这里a^2表示a的平方）
所以，数列｛Dn－a×D(n-1)｝是一个等比数列，公比是b，首项为D2－a×D1＝b^2
所以，Dn－a×D(n-1)＝b^2×b^(n-2)＝b^n
同理由Dn＝(a+b)×D(n-1)－ab×D(n-2)得Dn－b×D(n-1)＝a×[D(n-1)－b×D(n-2)].
所以，Dn－b×D(n-1)＝a^n
由Dn－a×D(n-1)＝b^n，Dn－b×D(n-1)＝a^n
得
Dn＝[a^(n+1)－b^(n+1)]/(a-b)，n≥2
D1也满足上式，所以Dn＝[a^(n+1)－b^(n+1)]/(a-b)，n＝1,2,……