高中数学函数应用题

Question

某企业有两个生产车间分别在A，B两个位置，A车间有100名员工，B车间有400名员工。先要在公路AC上找一点D，绣一条公路BD，并在D处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已知A，B，C中任意两点间的距离军事1KM，设∠ABC=a,所有员工从车间到食堂不行的总路程为S。
1.写出S关于a的函数表达式，并指出a的取值范围
2.问食堂D建在距离A多远时，可是总路程S最少？

Answer 1

已知A、B、C中任意两点的距离均为1km，那么ABC就构成一个等边三角形（如图）
因为△ABC为等边三角形
所以，∠A=∠B=∠C=60°
已知∠BDC=α
所以，∠ABD=α-60°
在△ABD中由正弦定理有：AD/sin∠ABD=AB/sin∠ADB
即，AD/sin(α-60°)=1/sin(180°-α)
则，AD=sin（α-60°）/sinα
同理，在△BCD中由正弦定理有：BC/sin∠BDC=BD/sin∠C
即，1/sinα=BD/sin60°
所以，BD=sin60°/sinα
则所有员工行走的路程S=100*AD+400*BD
=[100sin(α-60°)/sinα]+[400*sin60°/sinα]
因为点D为AC上异于A、C的点，所以：
α∈(60°，120°)
【无限接近A点时就是60°，无限接近C点时就是120°】