怎样证明垂线段最短？

Question

垂线段最短时还没开始讲三角形呀，能用后面证前面的？如果可以，那是不是通过二步来证明：首先证出垂线段仅此一条，因为有两条就成了过直线外一点向直线引了两条垂线段就有两个直角了。再通过斜边大于直角边来证明垂线段最短？
垂线段最短时还没开始讲三角形呀，能用后面证前面的？
还有：哪些经验可以作为公理，哪些又不能呢？怎样理解和把握所谓千百次千百万人几千年来这类的说法呢？就好比说有N次都对，但能保证N+1次也对吗？
还有：用折叠、旋转、平移等等实验操作的办法来证明是被允许的吗？这些操作是否等价于公理呢？能不能说，欧氏几何的证明既可以从公理出发推理得到，也可以从实验操作得到，还可以从数字计算得到？教科书上一开始讲线段的相等、角的相等、三角形相等就是用平移叠放上去，讲轴对称图形就是用折叠。

Answer 1

垂线段最短是经验得到的公理，
而直角三角形中斜边最短注是根据这条公理得到的。

追问

斜边最短？

追答

对不起。
垂线段最短是经验得到的公理，
而直角三角形中斜边最长就是根据这条公理得到的。

Answer 2

课本中是作为不需要证明的“公理”来用的。

追问

不要提课本。因为课本会有各种考虑的。直接考虑到底能不能证明？

追答

用反证法，假设还存在一条更短距离的线，那么这条线和垂线以及在垂直边上的两个点组成三角形。
因为垂线长度 > 假设的最短距离长度，所以对角而言，垂线对应的角>90度。
这就矛盾了。三角形的内角和已经大于180度。

用反证法。
设点A垂直直线a于B点，而直线上另有一点C。然后我们假设 AC<AB。
这样就有直角三角形ABC,其中角B为直角90度。三角形内角和只有180度，那么另外的两个内角加起来是90度。而另外两个内角都不能等于零，所以就都得大于0度，小于九十度，也就是角C铁定小于角B。
我们知道，三角形中，大边对大角，小边对小角。这样就出现矛盾了，角C既然小于角B，那么它对应的AB怎么能大于AC呢？所以，开始的假设无论如何不能成立。所以垂线段只能最短了

追问

垂线段最短时还没开始讲三角形呀，能用后面证前面的？
还有：哪些经验可以作为公理，哪些又不能呢？怎样理解和把握所谓千百次千百万人几千年来这类的说法呢？就好比说有N次都对，但能保证N+1次也对吗？

追答

怎样垂线段最短？
不用证明
现在是：事实就是这样
你能反驳它吗？

如果想要进一步了解，你去学习《几何原本》吧！