(13分)一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植绿色灌木，周围的圆环分为 n ( n ≥3， n ∈N)等

Question

(13分)一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植绿色灌木，周围的圆环分为 n ( n ≥3， n ∈N)等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花.⑴ 如图1，圆环分成的3等份为 a 1 ， a 2 ， a 3 ，有多少不同的种植方法？如图2，圆环分成的4等份为 a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ，有多少不同的种植方法？⑵ 如图3，圆环分成的 n 等份为 a 1 ， a 2 ， a 3 ，……， a n ，有多少不同的种植方法？

Answer 1

)⑴如图1，先对a 1 部分种植，有3种不同的种法，再对a 2 、a 3 种植， 因为a 2 、a 3 与a 1 不同颜色，a 2 、a 3 也不同。 所以S（3）=3×2=6（种）。 如图2，S（4）=3×2×2×2－S（3）=18（种）。 ⑵

本试题主要考查了排列组合的运用，解决实际问题，同时也考查了数列的求和的运用，数列的概念的综合试题。 （1）先对a 1 部分种植，有3种不同的种法，再对a 2 、a 3 种植， 因为a 2 、a 3 与a 1 不同颜色，a 2 、a 3 也不同。 所以S（3）=3×2=6（种）。………3分 如图2，S（4）=3×2×2×2－S（3）=18（种） （2）圆环分为n等份，对a 1 有3种不同的种法，对a 2 、a 3 、…、a n 都有两种不同的种法，但这样的种法只能保证a 1 与a i （i=2、3、……、n－1）不同颜色，但不能保证a 1 与a n 不同颜色. 于是一类是a n 与a 1 不同色的种法，这是符合要求的种法，记为 种. 另一类是a n 与a 1 同色的种法，这时可以把a n 与a 1 看成一部分，这样的种法相当于对n－1部分符合要求的种法，记为 .共有3×2 n －1 种种法 因此可得到 ，进而分析求解。 )⑴如图1，先对a 1 部分种植，有3种不同的种法，再对a 2 、a 3 种植， 因为a 2 、a 3 与a 1 不同颜色，a 2 、a 3 也不同。 所以S（3）=3×2=6（种）。………3分 如图2，S（4）=3×2×2×2－S（3）=18（种）。………………………………………6分 ⑵如图3，圆环分为n等份，对a 1 有3种不同的种法，对a 2 、a 3 、…、a n 都有两种不同的种法，但这样的种法只能保证a 1 与a i （i=2、3、……、n－1）不同颜色，但不能保证a 1 与a n 不同颜色. 于是一类是a n 与a 1 不同色的种法，这是符合要求的种法，记为 种. 另一类是a n 与a 1 同色的种法，这时可以把a n 与a 1 看成一部分，这样的种法相当于对n－1部分符合要求的种法，记为 . 共有3×2 n －1 种种法.………………………………………………………………9分 这样就有 .即 ， 则数列 是首项为 公比为－1的等比数列.……………10分 则 由⑴知： ，∴ . ∴ .………………………………………………………12分 答：符合要求的不同种法有 ……………………………13分