插板法有几种?

如题所述

插板法就是在n个元素间的(n-1)个空中插入若干个(b)个板,可以把n个元素分成(b+1)组的方法。



注意插板法的三要件:相同元素分配;所分组是不相同的;每组至少分到一个。

插板法的例题:

(1)将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中,要求每个盒子至少放一个球,一共有多少种方法?A.21 B.28 C.32 D.48

解析:8个球中间有7个空,分到3个盒子需要插两块板,插板法C(7 2)=21种,选A。

对于不满足第三个条件即“每组至少一个”的情况,要先转化为标准形式,再使用插板法。

(2)将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中,要求每个盒子至少放两个球,一共有多少种方法?A.3 B.6 C.12 D.21

解析:先往每个盒子里提前放一个,还剩下5个;转化为5个相同的球分到3个不同的盒子,每个盒子至少一个,插板法C,6种,选B

(3)将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中,一共有多少种方法?A.15 B.28 C.36 D.45

解析:此时因为每个盒子可以分0个,先让每个盒子提供一个球给我们、分的时候再还回去;转化为11个相同的球分到3个不同的盒子,每个盒子至少一个,插板法 C(10 2)=45种,选D

此时也可以根据八个球之间9个空,两个板子插不同的空有C(9 2)=36种、插同一个空有C(9 1)=9种,36+9=45种;对比三种不同的考法,其实它们之间是存在密切联系的。

8个完全相同的球放到3个不同的盒子中,每个盒子至少放0个球,有C(10 2)种;

8个完全相同的球放到3个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,有C(7 2)种;

8个完全相同的球放到3个不同的盒子中,每个盒子至少放两个球,有C(4 2)种;



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