柯西（Cauchy）不等式
等号当且仅当 或 时成立（k为常数， ）现将它的证明介绍如下：
证明1：构造二次函数
=
恒成立
即
当且仅当 即 时等号成立
证明（2）数学归纳法
（1）当 时 左式= 右式=
显然 左式=右式
当 时， 右式 右式
仅当即 即 时等号成立
故 时 不等式成立
（2）假设 时，不等式成立
即
当 ，k为常数， 或 时等号成立
设
则
当 ，k为常数， 或 时等号成立
即 时不等式成立
综合（1）（2）可知不等式成立
柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题：
1） 证明相关命题
例1． 用柯西不等式推导点到直线的距离公式 。
已知点 及直线
设点p是直线 上的任意一点， 则
（1）
（2）
点 两点间的距离 就是点 到直线 的距离，求（2）式有最小值，有
由（1）（2）得：
即
（3）
当且仅当
（3）式取等号 即点到直线的距离公式
即
2） 证明不等式
例2 已知正数 满足 证明
证明：利用柯西不等式
又因为 在此不等式两边同乘以2，再加上 得：
故
3） 解三角形的相关问题
例3 设 是 内的一点， 是 到三边 的距离， 是 外接圆的半径，证明
证明：由柯西不等式得，
记 为 的面积，则
故不等式成立。
4） 求最值
例4 已知实数 满足 ， 试求 的最值
解：由柯西不等式得，有
即
由条件可得，
解得， 当且仅当 时等号成立，
代入 时，
时
5）利用柯西不等式解方程
例5．在实数集内解方程
解：由柯西不等式，得
①
又
即不等式①中只有等号成立
从而由柯西不等式中等号成立的条件，得
它与 联立，可得
6）用柯西不等式解释样本线性相关系数
在《概率论与数理统计》〉一书中，在线性回归中，有样本相关系数 ，并指出 且 越接近于1，相关程度越大， 越接近于0，则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。
现记 ， ，则，
，由柯西不等式有，
当 时，
此时， ， 为常数。点 均在直线
上，
当 时，
即
而
为常数。
此时，此时， ， 为常数
点 均在直线 附近，所以 越接近于1，相关程度越大
当 时， 不具备上述特征，从而，找不到合适的常数 ，使得点 都在直线 附近。所以， 越接近于0，则相关程度越小。
参考文献： 柯西不等式的微小改动 数学通报 2002 第三期
柯西不等式与排序不等式 南山 湖南教育出版社
普通高中解析几何 高等教育出版社
1990-年全国统一考试 数学试卷
李永新 李德禄 中学数学教材教法 东北师大出版社
盛聚，谢式千，潘承毅 概率与数理统计 高等教育出版
用用柯西不等式解释样本线性相关系数 数学通讯 2004年第七期
原函数是平方和的形式
每项都等于0 才能取到最小值0
也就是ax+bx=0了
然后得出An/Bn＝－1/X
即可得出图中最后一句结论为等号成立的条件
本题还可用另一种更容易理解的方法解答〔n维向量法〕
我也是数学奥赛爱好者啊！能交个朋友不？希望以后能够多多探讨问题！
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柯西不等式怎么证明
证明柯西不等式如下：1、Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai，bi，则有（∑ai^2） *（∑bi^2）≥（∑ai*bi）^2。令 f（x）=∑（ai+x*bi）^2=（∑bi^2）*x^2+2*（∑ai*bi）*x+（∑ai^2)。则恒有f（x）≥0。2、用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有Δ...
怎么证明柯西不等式?
柯西不等式基本题型分别是：1、二维形式：(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2 等号成立条件：ad=bc 2、三角形式：√(a^2＋b^2)＋√(c^2＋d^2)≥√[(a－c)^2＋(b－d)^2]等号成立条件：ad=bc 3、向量形式：|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,...
柯西不等式的证明方法
柯西不等式的证明方法具体如下可供参考：一、证明方法 1、A=a1²+a2²+…+an²,B=b1²+b2²+…+bn²,C=a1b1+a2b2+…+anbn作函数f（x）=Ax²+2Cx+B，如果能证明函数f（x）恒大于等于0,即f（x）的判别式Δ≤0,就得到4C²≤4AB,即柯西不...
柯西不等式证明!
柯西不等式 (a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2 等号成立条件：ad=bc 证明 (a^2+b^2)(c^2+d^2) （a,b,c,d∈R)＝a^2·c^2 ＋b^2·d^2＋a^2·d^2＋b^2·c^2 ＝a^2·c^2 ＋2abcd＋b^2·d^2＋a^2·d^2－2abcd＋b^2·c^2 ＝(ac＋bd)^2＋(ad－bc...
柯西不等式的证明方法?
柯西不等式：ai,bi∈R，求证:(a1^2+a2^2+...+an^2)*(b1^2+b2^2+...+bn^2)≥(a1*b1+a2*b2+...+an*bn)^2.我觉得比较简单的方法就是构造法，构造n维向量：α=(a1,a2,...,an)，β=(b1,b2,...,bn).则 √(a1^2+a2^2+...+an^2)*√(b1^2+b2^2+...+bn^2)=|...
如何证明柯西不等式成立?
1.柯西不等式的特点：左边是平方和的积，简记为方和积，右边是乘积和的平方。2.柯西不等式的直接应用。例：已知x,y满足x+3y=4,求4x2+y2的最小值。分析：方法一，大家看到该题后的直接想法可能是换元，把关于x,y的双元变量变换为关于x或y的一元变量问题，再借助于二次函数的思想可以解决。方法...
柯西不等式怎么证?
证明： [√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)]^2 =a^2+b^2+c^2+d^2+2*√(a^2+b^2)*√(c^2+d^2)≥a^2+b^2+c^2+d^2-2（a*c+b*d）=(a-c)^2+(b-d)^2 两边开根号即得√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]...
求“柯西不等式”公式,知道的告诉一下…谢谢…
柯西不等式:二维形式:(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2 等号成立条件：ad=bc 三角形式:√(a^2＋b^2)＋√(c^2＋d^2)≥√[(a－c)^2＋(b－d)^2]等号成立条件：ad=bc 注：“√”表示平方根，向量形式:|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)...
柯西不等式证明
Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)则恒有 f(x) ≥ 0.用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ...
用柯西不等式证明简单结论
由柯西不等式：(a+b)(1+1)>=(根号a+根号b)^2 (展开)=a+b+2根号ab 即 2(a+b)>=a+b+2根号ab，所以 a+b>=2根号ab.
