几何法证明空间中的平行关系

Answer 1

立体几何是高考的重点内容之一，每年高考大题必有立体几何题，尤其是第一问主要考查证明线面垂直、平行，面面垂直等问题，解决这类问题的方法主要有：几何法和空间向量法. 在高考中其难度属中档题.

使用情景：转化的直线或平面比较容易找到
解题步骤：

第一步 按照线线平行得到线面平行，进而得出面面平行的思路分析解答；
第二步 找到关键的直线或平面；
第三步 得出结论.
【例1】 如图，四棱锥 的底面是边长为 的正方形， 底面 ， 、 分别为 、 的中点．

求证： 平面 ；

【证明】

取 中点 ，连接 、 ，

在 中， 为 的中点，

，

正方形 中 为 中点，

，

，

故四边形 为平行四边形，

，
又 平面 ， 平面 ，

平面 ；

【点评】证明线面平行的思路一般有两种：一是在所证的平面内找到一条直线与已知直线平行即可；二是通过证明已知直线所在的平面与已知平面平行，进而得到这条直线与已知平面平行的结论.
【例2】 已知四棱锥 中，底面 为平行四边形．点 、 、 分别在 、 、 上，且 ．

求证：平面 平面 ．

【证明】

， ，

而 平面 ， 平面 ，

平面

又 为平行四边形，

，而 平面 ， 平面 ，

平面 .

由 ，

根据平面与平面平行的判定定理，平面 平面 ．

【总结】由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行．一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行．