实变函数学十遍是真的？

Question

请问实变函数是一门什么样的科学？为什么这么难？大学的时候看哪一本实分析比较好呢？实变函数是不是对理解微积分的原理很有好处？

Answer 1

十遍函数学十遍，量子力学量力学，随机过程随机过。。。这都是顺口溜，没有任何依据。

实变函数论和微积分都是属于分析这一分支。但是学实变函数，对于微积分并无多少帮助，因为它是微积分的后续课程。
微积分所研究的，是可微，连续的“好”函数，但是还有很多“奇怪”的函数，比如连续却处处不可微的函数。

简而言之，微积分研究的，是微分和积分两种互逆的运算，而实变函数，研究的是，什么样的函数，能参与到这种运算中来。在实变函数中，连续，可积等概念，都被推广了，以“测度”概念为核心。

至于教材，首推Rudin的教材，他写的分析的书好几部，都很好。机械工业出版社有影印的英文版，也有翻译的中文版。此外，天才陶哲轩（数学界最高奖菲尔兹奖得主）写过一本，《陶哲轩实分析》。

至于国内的，首推北大周民强老师的《实变函数论》。相对于物理学，国内与国外的数学教材差距较小。

至于为什么难学，我觉得可能是由于觉得抽象。这一点，可以通过解题来克服，然后就会对那些奇形怪状的函数有了更好的认识，注意解题，非到万不得已，绝对不可以看答案。很多时候，看了答案，有“不过如此”的感觉，但是这不等于自己已经能够掌握理解。