求20道高中数列应用题！！！急！！！

Question

有点技术含量的那种~谢谢~

Answer 1

http://zhidao.baidu.com/question/98588270.html?si=6

1.设数列{an}满足a1+3a2+3的平方a3+……+3的n-1次方an=n/3（n∈N*）1.求数列{an}的通项2.令bn=n/an，求数列{bn}的前n项和Sn

答案：
a1+3a2+3^2*a3+...+3^(n-1)*an=n/3..............(1)
n=1时，a1=1/3,
n>1时，a1+3a2+3^2*a3+...+3^(n-2)*an=(n-1)/3...(2)
(1)-(2),得3^(n-1)*an=1/3,
an=1/(3^n)
n=1时也符合此式，所以通项公式是an=1/(3^n).

bn=n/an=n*3^n.
Sn=1*3^1+2*3^2+...+n*3^n.............(3)
3Sn=1*3^2+2*3^3+...+n*3^(n+1)........(4)
(4)-(3),得2Sn=-(3^1+3^2+...+3^n)+n*3^(n+1)
=n*3^(n+1)-[3^(n+1)-3]/2
=[(2n-1)*3^(n+1)+3]/2,
Sn=[(2n-1)*3^(n+1)+3]/4.

2.
an=1/(3^n+(-1)^n),前n项和计为Tn,是否存在k,在n>=3时，Tn属于（k/10,(k+1)/10)

答案：
存在
T3>0.6
1/(3^n+(-1)^n)<1/3^(n-1)(n≥2)
Tn=1/2+1/10+1/26+.....+1/(3^n+(-1)^n)<1/2+1/10+1/26+1/27+....
1/3^(n-1)+....(从第四项开始为等比数列 求和取极限即可得到和为1/54)=1/2+1/10+1/26+1/54<0.7

3.
若数列{An}满足A(n+1)=(3An-1)/(-An+3),(n为实数），且A1=5,求此数列的通式An=____

答案：
x=(3x-1)/(3-x),
3x-1=x(3-x)=3x-x^2,x=1.
A(n+1)-1=[3A(n)-1]/[3-A(n)]-1=[3A(n)-1-3+A(n)]/[3-A(n)]=4[A(n)-1]/[3-A(n)],
A(1)=5,A(1)-1不等于0。所以，A(n)-1不等于0。
b(n)=1/[A(n)-1],
b(n+1)=[2-A(n)+1]b(n)/4=[2-1/b(n)]b(n)/4=b(n)/2-1/4,
b(n+1)+y=[b(n)+y]/2,-1/4=-y/2,y=1/2.
b(n+1)+1/2=[b(n)+1/2]/2,
{b(n)+1/2}是首项为b(1)+1/2=1/[A(1)-1]+1/2=1/4+1/2=3/4,公比为(1/2)的等比数列。
b(n)+1/2=(3/4)*(1/2)^(n-1)=3/2^(n+1),
A(n)=1/b(n)+1=1/[3/2^(n+1)-1/2]+1=2^(n+1)/[3-2^n]+1=[3+2^n]/[3-2^n],n=1,2,...

4.
已知数列{a(n)},Sn是它前n项和,并且S(n+1)=4a(n)+2,a(1)=1
设{b(n)}=a(n+1)-2a(n),且{b(n)}为等比数列,求a(n)的通项公式

答案：
S(n+1)=4an+2,所以Sn=4a(n-1)+2
相减得：a(n+1)=4an-4a(n-1)
下面,求出适合的数字b,c使得： (待定系数法)
a(n+1)+b*an=c[an+b*a(n-1)]
这个式子跟上个式子是等价的,所以有
c-b=4,bc=-4. 求出b=-2,c=2.
即 a(n+1)-2an=2[an-2a(n-1)],令通项bn=a(n+1)-2an，得到bn=2b(n-1)为一等比数列。
求b1. b1=a2-2a1,由初始的S(n+1)=4an+2知道S2=a1+a2=4+2=6
于是求出a2=5,再代入求出b1=5-2=3
这就求出了bn的通项公式 bn=3*2^(n-1)=3*2^(n-1)
bn=a(n+1)-2an, 2b(n-1)=2an-4a(n-1),,,2^(n-1)*b1=2^(n-1)*a2-2^n*a1
一共是n项，需要对其求和
左边是 2^(n-1)b1+....+2b(n-1)+bn ; 式(1)
右边是 a(n+1)-2^n*a1=a(n+1)-2^n . 式(2)
左边等于右边，对左边n项求和：设Bn等于左边的和式,即式（1）
Bn=3*2^(n-1)+3*2^(n-1)+....+3*2^(n-1)一共n个,
所以Bn=3n*2^(n-1)=a(n+1)-2^n
所以a(n+1)=(3n+2)2^(n-1)
通项an=(3n-1)2^(n-2)

5.
已知a(1)=1,a(n+1)=n*a(n)+2,求通项a(n).括号里的为下标,请写出过程哈
答案：
http://zhidao.baidu.com/question/102024315.html?fr=qrl

6.
是否存在常数p(p≠-1),使数列{(Tn-n)/2(2＾n+p}为等比数列?
请给我讲解一下,谢谢!
问题补充：
Tn=2＾(n+1)-2+n

答案：
an={(Tn-n)/2(2＾n+p}
=[2^(n+1)-2]/2(2^n+p)

a1=1/(p+2)
a2=3/(p+4)
a3=7/(p+8)
则[3/(p+4)]^2=[1/(p+2)][7/(p+8)]
p^2+17p+16=0
p不等于-1
p=-16

an=[2^(n+1)-2]/2(2^n-16)
n=4,2^4-16=0,所以a4不存在

7.
0 3/4 16/11 15/7......求第N项是多少

答案：
可以看成是
0/5 6/8 16/11 30/14 .... （首项看成是0/5是关键）
先看分子 0 6 16 30
设各项为AN
a2-a1=6
a3-a2=10
a4-a3=14
设cN=a(N+1)-aN,则CN是一个以6为首项，4为公差的等差数列
CN=6+4(N-1)=4N+2
C1+C2+C3...+C(N-1)=A2-A1+A3-A2+A4-A3...+AN-A(N-1）=AN-A1
又C1+C2+C3...+C(N-1)=SN=(C1+CN-1)*(N-1)/2=2(N^2-1)
所以2(N^2-1)=AN-A1=AN-0=AN
AN=2(N^2-1)
再看分母
刚开始我也在想如果第一项分母是零的话貌似就不成立了，后来又考虑了一下，发现由于零除以任何数都是零，所以分母可以写成除了零之外的任何数，所以第一项就写成了0/5
这样分母就变成了：
5 8 11 14
啊哈，这是一个等差数列
设为bn
则bn=5+3(n-1)=3n+2
这样整个数列就可以表示成 2(N^2-1)/3n+2
就是说第N项为： 2(N^2-1)/3n+2

8.
在正数数列{an}中，a1=1,a2=10 an^2×a(n-2)=a(n-1)^3 (n=3,4,...) 则an= 这里n 与n-1都是下标

答案：
利用以10为底的对数函数lg
lg(an^2×a(n-2)) = lg(a(n-1)^3)
2lg(an) + lg(a(n-2)) = 3lg(a(n-1))

换元, 令bn=lg(an)
2bn+b(n-2)=3b(n-1)
bn-b(n-1)=(b(n-1)-b(n-2))/2

所以{bn-b(n-1)}是以1/2为公比的等比数列
b2-b1 = lg(10)-lg(0) = 1
bn-b(n-1) = (1/2)^(n-2)

bn
= (bn-b(n-1))+(b(n-1)-b(n-2))+...+(b2-b1) + b1
= 数列{bn-b(n-1)}前(n-1)项和 + b1
= 2-(1/2)^(n-2)

因为bn=lg(an), 所以 an = 10^bn = 10^(2-(1/2)^(n-2))

10.
绝对难度一道数列题：a1=5/2 a(n+1)=an/2+2/an ⑴求证：2<an<3 ⑵求证：a(n+1)-2<(an-2)/4 ⑶求an的极限

答案：
1)数学归纳法
假设2<an<3,当n=1时2<a1=5/2<3
设n=k时成立,则2<ak<3.(k=1,2,3...)
当n=k+1时a(k+1)=ak/2+2/ak>=2,当且仅当ak=2时取等号(基本不等式)
当时ak=3取最大值13/6(由求导可得)
所以2<a(k+1)<3
所以2<an<3成立.
2)分析法
要得a(n+1)-2<(an-2)/4则要得（an/2+2/an）-2<(an-2)/4
则要得2an+（8/an）-8＜an-2
因为2<an<3，所以则要得an＾2-6an＋8＜0
因为f（x）＝x＾2-6x＋8的对称轴为x＝3
所以x＝2取最大值0
又因为2<an<3
所以an＾2-6an＋8＜0
所以a(n+1)-2<(an-2)/4
3）因为a(n+1)-2<(an-2)/4
所以an-2＜（1/2）*〔（1/4）＾（n-1）〕
又因为an-2＞0
所以an-2的极限为0
an的极限为2

Answer 2

我知道 不过分太少 打的累 我是高三毕业生