A，B都是m*n的矩阵，证r(A+B)≤r(A)+r(B).问题在下面老师

Question

设A的列向量中α(i1),α(i2),...,α(ir)是其中一个极大线性无关组，β(j1),β(j2),...,β(jt)是B的列向量的一个极大线性无关组。那么A的每一个列向量均可以由α(i1),α(i2),...,α(ir)线性表出，B的每一个列向量均可以用β(j1),β(j2),...,β(jt)线性表出。于是A+B的每一个列向量α(k)+β(k)都能用α(i1),α(i2),...,α(ir)，β(j1),β(j2),...,β(jt)线性表出。因此A+B列向量组中极大线性无关组的向量个数不大于α(i1),α(i2),...,α(ir)，β(j1),β(j2),...,β(jt)中的向量个数，即r(A+B)≤r+t=r(A)+r(B)

他这个证明方法是不是就是用的下图这个推论？

Answer 1

不是用这个
是后面的一个定理
若向量组A 可由B线性表示, 则 R(A)<=R(B)

追问

我感觉他是用这个啊 极大线性无关组能被表出，然后他又线性无关。那么极大线性无关组所含向量个数小于等于标出它的那个向量组所含向量个数啊

追答

你这样想也可以, 其实那一句话是多余的

一般直接用 : 若向量组A 可由B线性表示, 则 R(A)<=R(B), 不管A组是否线性无关都成立

追问

那怎么证明，老师你能写出来吗？ 就是你说的 不管A是否线性无关。就是用这种类似的证明方法。用矩阵的话，我看不大懂

追答

证明就是用你贴出来的那个推论
因为向量组A 可由B线性表示

所以向量组A的极大无关组 可由B线性表示

所以 r(A)=r(A的极大无关组) <= r(B)

追问

哦 懂了 ，A组线性无关不无关不影响的，只要极大线性无关组怎样都是无关的那么就能用推论证明是吧。我这样理解对吧

追答

是这样

别忘了采纳哈

追问

好的 一定不会忘记 老熟人了。。。

来自：求助得到的回答