关于高数极限的运算问题，请教数学人才

Answer 1

解：首先讲一下罗彼塔法则（未定式“0/0”、“∞/∞”的定值法）
定理：设函数f(x)与g(x)满足条件：
（1）在 x→a 的情况下，limf(x)=limg(x)=0
（2）在点a的某个领域内（点a可以除外）可导，且g'(x)≠0
（3）在 x→a 的情况下，lim[f'(x)/g'(x)=A (或∞)
则必有 在 x→a 的情况下，lim[f(x)/g(x)]=lim[f'(x)/g'(x)]=A (或∞)
（如果，函数f'(x)与g'(x) 能满足定理中的f(x)与g(x)应满足的条件，则再继续使用罗彼塔法则，
即：在 x→a 的情况下，lim[f(x)/g(x)]=lim[f'(x)/g'(x)]=lim[f"(x)/g"(x)] 且可以此类推，直到求出所要求的极限。如果无法断定f'(x)/g'(x)的极限状态，或能断定它振荡而无极限，则罗彼塔法则失效，此时需用别的办法判断未定式f(x)/g(x)的极限。
所以，上题中的极限X→0的情况下 lim（3x-sin3x) / x^3 是未定式的极限
符合：（1）在 x→0 的情况下，lim（3x-sin3x) =limx^3=0
(2) 在点0的某个领域内（点0可以除外）可导，且(x^3)'≠0
(3) 在 x→0的情况下，lim[（3x-sin3x)'/(x^3)']=lim[(3-3c0s3x)/3x^2]
同理：3-3c0s3x与3x^2能满足定理中得f(x)与g(x)应满足的条件，则再继续使用罗彼塔法则：在 x→0的情况下，lim[(3-3c0s3x)'/(3x^2)']=lim[9sin3x/2(3x)]=(9/2)(sin3x/3x)=9/2 存在
所以，lim（3x-sin3x) / x^3 =lim[（3x-sin3x)'/(x^3)']=lim[(3-3c0s3x)/3x^2]
=lim[(3-3c0s3x)'/(3x^2)']=lim[9sin3x/2(3x)]=(9/2)(sin3x/3x)=9/2
由题知：在x→0的情况下，lim [sin3x+xf(x)] / x^3 = 0 所以,在x→0的情况下有：
lim [sin3x+xf(x)] / x^3 + lim（3x-sin3x) / x^3 = 0+lim（3x-sin3x) / x^3=lim[（3x-sin3x)'/(x^3)'
=lim[(3-3c0s3x)/3x^2]=lim[(3-3c0s3x)'/(3x^2)']=lim[9sin3x/2(3x)]=(9/2)(sin3x/3x)=9/2
所以，原式=lim [sin3x+xf(x)] / x^3 + lim（3x-sin3x) / x^3 =9/2
《解毕》！