解析几何(一)【叉乘为啥这样定义】

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解析几何，叉乘是解析几何中介绍的一个相对比较陌生的概念。

一、叉乘

叉乘是解析几何中介绍的一个相对比较陌生的概念。因此在解析几何部分的笔记中优先介绍这个概念。

一、叉乘的定义

V=(V1,V2,V3),W=(W1,W2,W3)。

二、如何理解叉乘

为什么叉乘得到的这个向量垂直于原本的两个向量所在的平面呢？为什么叉乘得到的这个向量模长数值上等于原本两个向量所构成的平行四边形面积呢？

由行列式的性质可知这个变换是线性的，这个函数的定义是根据两个已知向量V、W定义的。由行列式的定义知，这是一个输入向量，输出与已知两个向量V、W构成的平行六面体有向体积的函数。

2.我们利用对偶性的思路：

对偶性：在多维空间到一维空间的线性变换（矩阵乘法）中，我们可以将整个矩阵立起来，将矩阵乘法这个变换看作与某个特定向量的点乘乘积。

点积与对偶性，我们将这个特定的向量记为p。

3.由点乘的定义和行列式的定义我们不难得出：

到这里你就会发现，p1、p2、p3的表达式就是我们一开始定义的叉乘得到的叉积各个对应分量。这是一个巧合吗？当然不是。

4.根据我们在【1】中定义的函数我们可以知道，当P与某个向量（x,y,z）点乘后得到的结果，相当于这个向量（x,y,z）与原有的两个向量V、W构成的平行六面体的有向体积。

那么什么样的p能够满足这个性质呢？我们不妨从点乘的定义出发：

我们将白色向量定义为输入向量（x,y,z)，红色向量为我们叉乘得到的向量P，那么点乘的意义就相当于用输入向量往向量P做投影，求长度的乘积。

5.到这里一切就非常清楚了。向量p的模长数值上等于已知向量V、W构成平行四边形面积，相当于底面面积；输入向量在向量P上的投影相当于输入向量垂直于底面方向上的模长，相当于底面上的高。

那么这两个向量点乘起来，自然就等于输入向量与已知向量V、W构成的平行六面体有向体积了。那么看到这里，我想你也能得出混合积的几何意义了吧。

我们再来小结一下这本笔记的思路：

1.根据已知向量V、W定义了求体积函数f。

2.然后我们找到他的对偶向量P，即使得应用f变换与向量P点乘等价。

思考：这个向量P是唯一的吗，会不会存在其他向量P1也使得输入向量与其点乘等价于应用f变换？

答案是肯定的，这个向量P是唯一的。

有些人可能会有疑问，如果把p稍微倾斜，那么并且拉长，那么p和（x，y，z）的点乘不就有可能依旧等于（x，y，z）和v、w围成的六面体的体积吗？难道不是有无数个三维向量P，使得p点乘（x，y，z）的结果与平行六面体的体积相等，其中一种就是p垂直于v、w吗？

不是的，你可以画图解决这个问题，当p不垂直于v、w构成的平面时，输入向量的选取就受到了限制，不再是任意可取的了。