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Answer 1

解：∵lim(x→0)(sinx/x)^(1/x^2)=e^[lim(x→0)(1/x^2)ln(sinx/x)]，
　　而lim(x→0)(1/x^2)ln(sinx/x)]属“0/0”型，用洛必达法则，有
　　lim(x→0)(1/x^2)ln(sinx/x)]=(1/2)lim(x→0)(1/sinx)(sinx/x)'=lim(x→0)(-1/2)/(2+xcosx/sinx)=(-1/2)/(2+1)=-1/6。
　　∴原式=e^[lim(x→0)(1/x^2)ln(sinx/x)]=e^(-1/6)。供参考。

Answer 2

x→0时，有ln(sinx/x)~sinx/x-1 （ln(x+1)~x）
lim(x→0) ln(sinx/x)/x²
=lim(x→0) (sinx/x-1)/x² （先做等价无穷小替换，减少计算）
=lim(x→0) (sinx-x)/x³ （用洛必达）
=lim(x→0) (cos-1)/3x² （1-cosx~x²/2）
=lim(x→0) (-x²/2)/3x²
=-1/6

Answer 3

Answer 4

x->0
sinx ~ x- (1/6)x^3
sinx/x ~ 1- (1/6)x^2

lim(x->0) ( sinx/x)^(1/x^2)
=lim(x->0) ( 1- (1/6)x^2)^(1/x^2)
let
1/y = (1/6)x^2
x^2 = 6/y

lim(x->0) ( sinx/x)^(1/x^2)
=lim(x->0) ( 1- (1/6)x^2)^(1/x^2)
=lim(y->∞) ( 1- 1/y)^(y/6)
=e^(-1/6)

追问

这是计算，不是证明。

追答

你用洛必达也是计算
我用等价无穷小也是计算