ln(1 1/x)用泰勒公式展开？

Answer 1

ln(1 + 1/x) 的泰勒公式展开为：ln(1 + 1/x) = 1/x - 1/(2x^2) + 1/(3x^3) - 1/(4x^4) + ... + (-1)^(n+1) / (nx^n) + O(1/x^(n+1))。

首先，我们了解到泰勒公式是用于将一个函数展开为无限级数的方法，这个级数是由函数在某一点的各阶导数值决定的。对于 ln(1 + 1/x) 这个函数，我们可以在 x = 0 处进行泰勒展开。

然后，我们需要求出 ln(1 + 1/x) 在 x = 0 处的各阶导数。通过求导，我们可以发现：一阶导数为 1/(1+1/x) * (-1/x^2)，二阶导数为 2/(1+1/x)^2 * (1/x^3)，三阶导数为 -6/(1+1/x)^3 * (1/x^4)，以此类推。我们可以看到，各阶导数都包含 (1+1/x) 的幂次和 x 的幂次，而且随着阶数的增加，幂次也在增加。

接着，我们将各阶导数值代入泰勒公式中，得到 ln(1 + 1/x) = (1/x) - (1/(2x^2)) + (1/(3x^3)) - (1/(4x^4)) + ... + (-1)^(n+1) / (nx^n) + O(1/x^(n+1))。这个级数就是 ln(1 + 1/x) 的泰勒展开式。

最后，需要注意的是，泰勒公式是一种近似表达方法，它的精度取决于展开的项数。在实际应用中，我们需要根据具体情况选择适当的项数，以达到所需的精度。