初二上学期数学题，请务必告诉我做题步骤

Question

如图1，△ABC中， BD 。CE是高， G.F 分别是 BC. DE的中点， FG与 DE有何特殊位置关系？请说明理由。

如图2，在△ABC中，EB 平分∠ABC, EC平分∠ACB的外角, 过点E作EF‖BC交 AB于 D，交 AC于 F，请问；线段 DB。CF和线段 DF之间有什么等量关系？说明你的猜想的理由。

如图3，四边形ABCD是等腰梯形，AB=DC,AD‖ BC,PB=PC.PA与 PD相等吗？为什么？
如图4，梯形ABCD中， AD ‖ BC AC=BD ，请说明梯形 ABCD是等腰梯形。

如图5，在直角三角形ABC的斜边 AB上取两点D, E，使AD=AC,BE=BC 。当 ∠B 的度数变化时，试讨论 ∠ DCE如何变化，说明你的根据。

Answer 1

如图1，△ABC中， BD 。CE是高， G.F 分别是 BC. DE的中点， FG与 DE有何特殊位置关系？请说明理由。
答：垂直。连接EG、DG。
∵CE⊥AB，∴△BCE是Rt△
∴EG＝BC/2
同理可证：DG＝BC/2
∴EG＝DG
∵EF＝DF
∴GF⊥DE（等腰三角形底边上的中线垂直于底边，“三线合一定理”）

如图2，在△ABC中，EB 平分∠ABC, EC平分∠ACB的外角, 过点E作EF‖BC交 AB于 D，交 AC于 F，请问；线段 DB。CF和线段 DF之间有什么等量关系？说明你的猜想的理由。
答：DB＝DF＋CF。
∵CE平分∠ACG，∴∠FCE＝∠ECG
∵ED‖BC，∴∠FEC＝∠ECG
∴∠FCE＝∠ECG，∴FC＝FE
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC
∵ED‖BC，∴∠DEB＝∠EBC
∴∠ABE＝∠EBC，
∴DB＝DE＝DF＋FE＝DF＋FC。

如图3，四边形ABCD是等腰梯形，AB=DC,AD‖ BC,PB=PC.PA与 PD相等吗？为什么？
答：相等。
∵PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB（等边对等角）
∵AB＝DC，∴∠ABC＝∠DCB（等腰梯形同一底上的两个角相等）
∴∠PBC－∠ABC＝∠PCB－∠DCB，即∠PBA＝∠PCD
又∵PB＝PC，AB＝DC
∴△PBA≌△PCD（SAS）
∴PA＝PD

如图4，梯形ABCD中， AD ‖ BC AC=BD ，请说明梯形 ABCD是等腰梯形。
证明：过点D作DE‖AC交BC延长线于点E。（图就你自己画啦）
∵DE‖AC，AD‖BC
∴四边形ACED是平行四边形
∴DE＝AC
∵AC＝BD
∴DE＝BD
∴∠DBC＝∠DEC
∵DE‖AC
∴∠ACB＝∠DEC
∴∠DBC＝∠ACB
∵AC＝BC，CB＝BC
∴△ABC≌△DCB
∴AB＝DC
∴梯形ABCD是等腰梯形

如图5，在直角三角形ABC的斜边 AB上取两点D, E，使AD=AC,BE=BC 。当 ∠B 的度数变化时，试讨论 ∠ DCE如何变化，说明你的根据。
答：∠DCE的度数不变，且∠DCE＝45°
∵AC＝AD
∴∠ADC＝∠ACD
同理，∠BEC＝∠BCE
∴∠ADC＋∠BEC＝∠ACD＋∠BCE＝∠ACB＋∠DCE＝90°＋∠DCE
又∵∠DCE＝180°－（∠ADC＋∠BEC）
∴∠DCE＝180°－（90°＋∠DCE）＝90°－∠DCE
∴2∠DCE＝90°
∴∠DCE＝45°

Answer 2

1.解：垂直。连接EG、DG。
∵CE⊥AB，∴△BCE是Rt△
∴EG＝BC/2
同理可证：DG＝BC/2
∴EG＝DG
∵EF＝DF
∴GF⊥DE（等腰三角形底边上的中线垂直于底边，“三线合一定理”）

2.解：DB＝DF＋CF。
∵CE平分∠ACG，∴∠FCE＝∠ECG
∵ED‖BC，∴∠FEC＝∠ECG
∴∠FCE＝∠ECG，∴FC＝FE
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC
∵ED‖BC，∴∠DEB＝∠EBC
∴∠ABE＝∠EBC，
∴DB＝DE＝DF＋FE＝DF＋FC。

3.解：相等。
∵PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB（等边对等角）
∵AB＝DC，∴∠ABC＝∠DCB（等腰梯形同一底上的两个角相等）
∴∠PBC－∠ABC＝∠PCB－∠DCB，即∠PBA＝∠PCD
又∵PB＝PC，AB＝DC
∴△PBA≌△PCD（SAS）
∴PA＝PD

4.证明：过点D作DE‖AC交BC延长线于点E。（图就你自己画啦）
∵DE‖AC，AD‖BC
∴四边形ACED是平行四边形
∴DE＝AC
∵AC＝BD
∴DE＝BD
∴∠DBC＝∠DEC
∵DE‖AC
∴∠ACB＝∠DEC
∴∠DBC＝∠ACB
∵AC＝BC，CB＝BC
∴△ABC≌△DCB
∴AB＝DC
∴梯形ABCD是等腰梯形

5.解：∠DCE的度数不变，且∠DCE＝45°
∵AC＝AD
∴∠ADC＝∠ACD
同理，∠BEC＝∠BCE
∴∠ADC＋∠BEC＝∠ACD＋∠BCE＝∠ACB＋∠DCE＝90°＋∠DCE
又∵∠DCE＝180°－（∠ADC＋∠BEC）
∴∠DCE＝180°－（90°＋∠DCE）＝90°－∠DCE
∴2∠DCE＝90°
∴∠DCE＝45°

Answer 3

1.答：垂直。连接EG、DG。
∵CE⊥AB，∴△BCE是Rt△
∴EG＝BC/2
同理可证：DG＝BC/2
∴EG＝DG
∵EF＝DF
∴GF⊥DE（等腰三角形底边上的中线垂直于底边，“三线合一定理”）

2.答：DB＝DF＋CF。
∵CE平分∠ACG，∴∠FCE＝∠ECG
∵ED‖BC，∴∠FEC＝∠ECG
∴∠FCE＝∠ECG，∴FC＝FE
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC
∵ED‖BC，∴∠DEB＝∠EBC
∴∠ABE＝∠EBC，
∴DB＝DE＝DF＋FE＝DF＋FC。

3.答：相等。
∵PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB（等边对等角）
∵AB＝DC，∴∠ABC＝∠DCB（等腰梯形同一底上的两个角相等）
∴∠PBC－∠ABC＝∠PCB－∠DCB，即∠PBA＝∠PCD
又∵PB＝PC，AB＝DC
∴△PBA≌△PCD（SAS）
∴PA＝PD

4.证明：过点D作DE‖AC交BC延长线于点E。（图就你自己画啦）
∵DE‖AC，AD‖BC
∴四边形ACED是平行四边形
∴DE＝AC
∵AC＝BD
∴DE＝BD
∴∠DBC＝∠DEC
∵DE‖AC
∴∠ACB＝∠DEC
∴∠DBC＝∠ACB
∵AC＝BC，CB＝BC
∴△ABC≌△DCB
∴AB＝DC
∴梯形ABCD是等腰梯形

5.答：∠DCE的度数不变，且∠DCE＝45°
∵AC＝AD
∴∠ADC＝∠ACD
同理，∠BEC＝∠BCE
∴∠ADC＋∠BEC＝∠ACD＋∠BCE＝∠ACB＋∠DCE＝90°＋∠DCE
又∵∠DCE＝180°－（∠ADC＋∠BEC）
∴∠DCE＝180°－（90°＋∠DCE）＝90°－∠DCE
∴2∠DCE＝90°
∴∠DCE＝45°