用定积分求X=acos^3t，y=asin^3t 所 围成的平面图形的面积

Question

∫ydx=4*∫asin^3t(acos^3t)'dt,t:π/2→0
=-3*a^2∫sin^4t*cos^2tdt
=-3a^2∫(sin^4t-sin^6t)dt
=3/8*πa
网上答案是这样的，有没有人能把过程给的在详细点（本人会套公式但定积分运算不好）

Answer 1

答案为3/8*πa^2。

解题过程如下：

x=acos^3t,y=asin^3t是星形线,它的面积为

∫ydx=4*∫asin^3t(acos^3t)'dt,t:π/2→0

=-3*a^2∫sin^4t*cos^2tdt

=-3a^2∫(sin^4t-sin^6t)dt

=3/8*πa^2

扩展资料

定理

一般定理

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

牛顿-莱布尼茨公式

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。

Answer 2

首先由方程x=acos^3t,y=asin^3t可确定围成的平面图形为星形，且被x,y轴分成4等份，求出在第一象限的图形面积，再乘以4可得所示面积，计算参数 t 的范围为[0，π/2]，得
∫ydx=4*∫asin^3td(acos^3t),t:π/2→0
=4*∫asin^3t(acos^3t)'dt,t:π/2→t0
=4*∫asin^3t(-3a*sint *cos^2t)dt,t:π/2→t0
=-3*a^2∫sin^4t*cos^2tdt
=-3*a^2∫sin^4t*(1-sin^2t)tdt
-3a^2∫(sin^4t-sin^6t)dt
=3/8*πa

P.S
这里，sin^4t = (sint)^4, sint 的四次方，其它的同样。

追问

从倒数第三行开始，我想问4哪儿去了啊，而且最后一步怎么得到答案的还不是很清楚

追答

哪个 4

=-3*a^2∫sin^4t*(1-sin^2t)tdt
=-3a^2∫(sin^4t-sin^6t)dt
=-3a^2(∫sin^4tdt-∫sin^6tdt)
=3/8*πa

Answer 3