用柯西收敛原理证明确界存在定理

Question

rt,直接证明,不要用引理

Answer 1

数学分析上有证明。两者等价，都是实数系基本定理。
不用柯西原理和其他定理，直接证法如下。

定理 非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。

证明：任意实数x可以表示为x=[x]+(x)，整数部分+非负小数部分。我们将(x)表示成无限小数形式：
(x)=0.a1 a2 a3 ... an ...,
其中a1,a2,...,an,...中的每一个数字都是0,1,...,9中的一个，若(x)是有限小数，则在后面接上无限个0。这称为实数的十进制无效小数表示。注意0.123000...=0.122999... 为了保持表示的唯一性，约定类似情况统一表示成前者。这样，任意实数集合S就可以由一个确定的无限小数的集合来表示:
{a0+0.a1 a2 ... an ... | a0=[x], 0.a1 a2 ... an ... = (x), x属于S}。
设数集S有上界，则可令S中元素的整数部分的最大者为b0，b0一定存在，否则S就无上界，并记
S0={x|x属于S 且 [x]=b0}。
显然由b0的定义，S0不是空集，并对任意x属于S\S0，有x<b0。
再令S0中元素的第一位小数中的最大者为b1，并记
S1={x|x属于S0 且 x的第一位小数是b1}。
显然S1亦非空集，并且对任意x属于S\S1，有x<b0+0.b1。
一般地，令数集Sn-1中元素的第n位小数中的最大者为bn，并记
Sn={x|x属于Sn-1 且 x的第n位小数是bn}。
一如既往做下去，我们得到一列非空数集S>S0>S1>...>Sn>...，和一列数b0,b1,...,bn,...，满足
b0是整数，bk是0,1,...,9中的一个。
令c=b0+0.b1 b2 ... bn ...，下面证明c就是S的上确界。
首先，若x属于S，则或存在非负整数m，使得x不属于Sm，或对任何非负整数n有，x属于Sn。
若x不属于Sm，有
x < b0+0. b1 b2 ... bm <= c；
若对于任意n，x属于Sn，由Sn的构造可知 x=c。
因此c是S的上界。
其次，对于任意给定的e>0，当m充分大，便有 1/10^m < e。
取y属于Sm，则c与y的整数部分及前m位小数是相同的，所以
c-y <= 1/10^m < e，
即 y>c-e，这就说明了任何小于c的数都不是S的上界。
故c就是S的上确界。
同理可证下确界存在性。

用柯西原理的话，先证明闭区间套定理，再证明确界存在定理。