这是用柯西收敛原理证明确界存在定理，它一开始说把【a，b】不断二分，哪半区间有E中的点就留哪半区间

Question

这是用柯西收敛原理证明确界存在定理，它一开始说把【a，b】不断二分，哪半区间有E中的点就留哪半区间。可是如果两半都有E中的点怎么办呢？
就差一个定理就学完第一章了，大神帮帮忙，感激不尽
下面那张图是第一张，上面的图是第二张。我的提问所指在第一张图（下面的）的第三行

Answer 1

证明里是说:如果右半区间有E中的点，就记右半区间为*；否则记左半区间为*。所以在你说的情况下，右半区间有E的点，应该记右半区间为*。

追答

不是说哪半区间有E中的点就留哪一半

只需讨论右半区间，因为如果右半区间有E中的点，那么上确界肯定大于等于中点，所以在右半区间里面；否则上确界一定在左半区间里面。

追问

嗯，知道了，我现在再想想有没有后续问题

Answer 2

不是哪半有就选哪半，而是看右半有没有，右半有就选右边，没有才选左边。

追答

目的是求上确界，自然是尽可能大，两半都有，上确界当然在右半。

这些完备性定理都是等价的，都是构造实数域的完备性公理。

有理数，完备化后就是实数。