问一道高中数学

Question

数列an的前n项和为sn，已知a1=1，a(n+1)=(n+1)/n*sn(n属于N*），求证
（1）数列（sn/n)为等比数列
（2）s(n+1)=4an

Answer 1

根据要证明的结论，反推了一下，你给的条件有点问题
根据结论2，很容易算出来，反推结果：
n：1,2,3,4,5，……
an：1,3,8,20,48，……
sn：1,4,12,32,80，……

条件“a(n+1)=(n+1)/n*sn(n属于N*）”应该为“a(n+1)=(n+2)/n*sn(n属于N*）”，完全符合。可见数列{sn/n}的公比为2，首项为1。

下面是严格证明:
（1)
由a(n+1)=(n+2)/n*sn，则s(n+1)-sn=(n+2)/n*sn
所以s(n+1)/(n+1)=2*sn/n,且s1/1=1，
所以数列{sn/n}为首项是1，公比为2的等差数列。

(2）
由（1）的结论，sn/n=[2^（n-1）]*1,则sn=n*2^(n-1)
所以s（n-1)=(n-1)*2^(n-2),s(n+1)=(n+1)*2^n
所以an=sn-s(n-1)
=n*2^(n-1)-(n-1)*2^(n-2)
=(n+1)*2^(n-2) [n>=1.n属于N*]
又s(n+1)=(n+1)*2^n
所以s(n+1)=4an,证毕。