已知椭圆E:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率为1/2 且经过P(1,3/2)

Question

已知椭圆E:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率为1/2 且经过P(1,3/2)，直线L;Y=KX+M不经过该点，与椭圆交与AB两点 求三角形ABO的面积最大值

Answer 1

原题是:已知椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为1/2,且经过P(1,3/2),直线L:y=kx+m不经过该点P,与椭圆交与AB两点, 求△ABO的面积最大值.

由已知a=2c且b=(√3)c且(1/a^2)+(9/(2b)^2)=1
解得a=2,b=(√3)
椭圆方程:x^2/4+y^2/3=1

设A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m)

向量OA=(x1,kx1+m),向量OB=(x2,kx2+m)
由向量法求三角形面积公式得△OAB的面积
S=(1/2)|x1·(kx2+m)-x2·(kx1+m)|=(1/2)|m||x1-x2|

由x^2/4+y^23=1且y=kx+m消去y并化简得
(4k^2+3)x^2+8kmx+4m^2-12=0
当△=(8km)^2-4(4k^2+3)(4m^2-12)=48((4k^2+3)-m^2)>0时
设t=m^2/(4k^2+3),则m^2=(4k^2+3)t,且0≤t<1
|m||x1-x2|=|m|(√△)/(4k^2+3)=(4√3)(√(m^2)(4k^2+3)-m^4)/(4k^2+3)
=(4√3)(√(4k^2+3)^2·t-(4k^2+3)^2·t^2)/(4k^2+3)
=(4√3)√(t(1-t))
≤(4√3)(t+(1-t)))/2 (t=1/2时取“=”)
=2√3
即△OAB的面积S≤(1/2)·(2√3)=√3
当t=m^2/(4k^2+3)=1/2 即2m^2=4k^2+3 取“=”
因直线L不过(1,3/2),满足2m^2=4k^2+3的(m,k)应将m+k=3/2的值除外.
所以△ABO面积的最大值是√3。

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