二次函数y=x2+bx+3

Question

（本小题满分13分）如图，已知二次函数y=x2+bx+3与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点A，O为坐标原点，P是二次函数y=x2+bx+3的图象上一个动点，点P的横坐标是m，且m＞3，过点P作PM，PM交直线AB于M．
(1) 求二次函数的解析式；
(2) 若以AB为直径的⊙N恰好与直线PM相切，求此时点M的坐标；
(3) 在点P的运动过程中，△APM能否为等腰三角形？若能，求出点M的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）把B（3，0）代入y＝x²＋bx＋3，得b＝－4

所以二次函数的解析式为y＝x²－4x＋3

（2）以AB为直径的圆的圆心是AB的中点，故其横坐标为3/2

在y＝x²－4x＋3中，令x＝0，得y＝3

∴A（0，3），又B（3，0），∴OA＝3，OB＝3

∴AB＝3√2，∴⊙C的半径r＝3√2/2

∵以AB为直径的⊙N恰好与直线PM相切

∴点P的横坐标＝3/2＋3√2/2

由A（0，3），B（3，0）可得直线AB的解析式为y＝－x＋3，把点P的横坐标代入

得y＝3/2－3√2/2

∴此时点M的坐标为（3/2＋3√2/2，3/2－3√2/2）

（3）∵点P的横坐标是m，∴P(m，m²－4m＋3)，M(m，－m＋3)

∴PM＝m²－4m＋3－(－m＋3)＝m²－3m

过A作AH⊥PM于H，则AH＝m

①若AP＝AM，如图1，则PM＝2PH

即m²－3m＝2m，解得m＝0（舍去）或m＝5

∴y＝－5＋3＝－2

∴M1(5，－2)

②若AM＝PM，如图2，则AM＝m²－3m

∵AM＝√2AH，∴m²－3m＝√2m，解得m＝0（舍去）或m＝3＋√2

∴y＝－3－√2＋3＝－√2

∴M2(3＋√2，－√2)

③若PA＝PM，如图3，则△PAM是等腰直角三角形

∴m＝m²－3m，解得m＝0（舍去）或m＝4

∴y＝－4＋3＝－1

∴M3(4，－1)

综上所述，△APM能成为等腰三角形，此时点M的坐标为：

M1（5，－2）或M2（3＋√2，－√2）或M3（4，－1）

Answer 2

首先题目是有问题的
第三问，马拉松。初中的题目，垃圾题一道。难怪。。。

解：
（1）将B(3，0)代入y=x^2+bx+3，得b=-4
所以二次函数的解析式为y=x^2-4x+3
A(0,3)，B(3,0)
（2）
以AB为直径的圆的圆心N是AB的中点，N(3/2,3/2)
AB=3√2，⊙N的半径r=AN=BN=3√2/2。
对于满足横坐标m>3且在抛物线上的点P，PM与⊙N相切，
又在直线AB上的点M只有A点，所以，M的坐标为：M(0,3)。
PM所在直线的斜率：Kpm*Kab=-1
Kab=-1,Kpm=1,y-3=x,x-y+3=0即为PM所在直线方程。
x+3=x^2-4x+3,x(x-5)=0,x=0【对应A点】，x=5,y=8。P(5,8)
（3） 点P的横坐标是m，则P(m，m^2-4m+3)，A(0，3)，M(n,3-n)
A) AP=AM，可直接得解，一串串字母
B）AM=MP，亦可直接得解，更长的一串串字母
C) MP=AP，解n的一元二次方程