设A为n阶矩阵,满足A2=A,设A为n阶矩阵,满足A2=A,试证:r(A)+r(A+I)=n

Question

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Answer 1

（结论应该是rank(A)+rank(A-I)=n，否则是错的。例：取A=I，则A^2=I=A，但rank(A)+rank(A+I)=rank(I)+rank(2I)=n+n=2n）

证法一：

令U={x∈R^n|Ax=0}为A的解集，则dim(U)=n-rank(A)；
令V={x∈R^n|Ax=x}={x∈R^n|(A-I)x=0}为(A-I)的解集，则dim(V)=n-rank(A-I)。
两式相加得dim(U)+dim(V)=2n-[rank(A)+rank(A-I)]。

声明：R^n=U⊕V。
证明：(1)U∩V=0：x∈U∩V则Ax=0且Ax=x，所以x=0；
(2)U+V=R^n：对任意x∈R^n，定义x1=x-Ax,x1=Ax，则x=x1+x2；且由A(Ax)=(A^2)x=Ax易知Ax1=Ax-Ax=0,Ax2=Ax=x2，所以x1∈U,x2∈V。

所以dim(U)+dim(V)=n。代入上式得rank(A)+rank(A-I)=n。

证法二：

由A^2=A，A有化零多项式f(x)=x^2-x=x(x-1)。A的最小多项式p(x)必整除f(x)，且f(x)无重根，所以p(x)无重根，所以A可对角化。A的特征值都是p(x)的根，所以都是f(x)的根，只能是0或1。所以A相似于对角元全为0或1的对角阵D。
A相似于D，所以rank(A)等于rank(D)，等于D中1的个数；
A-I相似于D-I，所以rank(A-I)等于rank(A-I)，等于D中0的个数。
所以rank(A)+rank(A-I)等于D的阶，即n。