求解几道高数问题

Question

设函数 f(x)=√(2x-x^2), x>=0
= xe^-x, x<0
求∫f(x-1)dx (上限2下限-2)

设直线y=ax(0<a<1)与抛物线y=x^2所围图形的面积为S1,
他们与直线x=1所围图形的面积为S2.
(1)确定a使S1+S2达到最小
(2)求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积

函数y=f(x)由方程 x=2e^t,y=e^-t确定,求y''|x=2
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希望能有详细一点的过程或者讲解,谢谢

Answer 1

解：1。原式=∫(-2,2)f(x-1)d(x-1)
=∫(-3,1)f(x)dx (用x代换x-1)
=∫(-3,0)f(x)dx+∫(0,1)f(x)dx (分解成两个积分的和)
=∫(-3,0)xe^(-x)dx+∫(0,1)√(2x-x^2)dx (利用已知条件)
=[-xe^(-x)]|(-3,0)+∫(-3,0)e^(-x)dx+∫(0,1)√[1-(1-x)²]dx
(第一个积分应用分部积分法)
=-3e³+[-e^(-x)]|(-3,0)+∫(π/2,0)(-cos²t)dt
(在第二个积分中，令1-x=sint)
=-3e³-1+e³+1/2∫(0,π/2)[1+cos(2t)]dt
=-2e³-1+1/2[t+sin(t/2)/2]|(0,π/2)
=-2e³-1+1/2(π/2-0)
=π/4-2e³-1;
2。(1)∵S1=∫(0,a)(ax-x²)dx=(ax²/2-x³/3)|(0,a)=a³/2-a³/3=a³/6
S2=∫(a,1)(x²-ax)dx=(x³/3-ax²/2)|(a,1)=1/3-a/2-a³/3+a³/2=a³/6-a/2+1/3
∴S1+S2=a³/6+a³/6-a/2+1/3=a³/3-a/2+1/3
∵令(S1+S2)'=a²-1/2=0，得a=√2/2 (∵0<a<1)
∴当a=√2/2时，使S1+S2达到最小值；
(2)所求体积=π∫(0,√2/2)[(√2x/2)²-(x²)²]dx
=π∫(0,√2/2)(x²/2-x^4)dx
=π(x³/6-x^5/5)|(0,√2/2)
=π[(√2/2)³/6-(√2/2)^5/5]
=√2π/60；
3。∵x=2e^t,y=e^(-t)
∴xy=(2e^t)[e^(-t)]=2,即y=2/x
∵y'=2(-1/x²)=-2/x²
∴y''=(-2)(-2/x³)=4/x³
故y''|(x=2)=4/2³=1/2。

Answer 2

1.分别积分就行了,从-2到0积分∫xe^(-x)dx
= -∫xde^(-x)
= -[xe^(-x)|(-2,0)-∫e^(-x)dx](分部积分)
= -[2e^2+e^(-x)]
= -1-e^2

从0到2积分其实是个半圆(画下图就知道了),面积是pi/2.故原积分的值是pi/2-1-e^2.

2.没明白S2是哪个面积?

3.从参数方程直接就能得到y=2/x,所以y''|x=2 = 4/x^3|x=2 = 1/2

Answer 3

不懂

Answer 4

(1) π/4-1-2*e^3