设A、B、C是三个相互独立的随机事件，且0＜P（C）＜1，则在下列给定的四对事件中不相互独立的是（ ）A

Question

设A、B、C是三个相互独立的随机事件，且0＜P（C）＜1，则在下列给定的四对事件中不相互独立的是（　　）A．.A+B与CB．.AC与.CC．.A?B与CD．.AB与.C

Answer 1

由于A，B，C是三个相互独立的随机事件，故其中任意两个事件的和、差、交、并、逆与另一个事件或其逆是相互独立的．
根据这一性质，选项（A）（C）（D）三项中的两事件是相互独立的，因而均为干扰项．
故选：B．

Answer 2

A、C、D三项我就不解释了，因为很容易证明，我在这里只说B选项。这道题很多地方的答案都选B，但我要说的是，B答案也是不对的。解释如下：
若要证明AC的逆与C的逆相互独立，则根据相互独立事件的性质，只需证明AC与C是相互独立的就可以了，亦即只需要证明
P(AC∩C) = P(AC)P(C)即可
于是
P(AC∩C) = P(AC) = P(A)P(C)
P(AC)P(C)=P(A)P(C)P(C)
当P(A)=0时，P(AC∩C) = P(AC)P(C) = 0，此时，AC和C是相互独立的；
当P(A)≠0时，由0<P(C)<1可知，P(C)P(C)<P(C)，从而 P(A)P(C)P(C)≠P(A)P(C)，亦即P(AC∩C)≠P(AC)P(C)。所以此时AC和C不是相互独立的，从而AC的逆与C的逆自然也就不是相互独立的了。
这个问题虽然已经过去10年了，但我还是要回答一下，希望能采纳这个答案，让更多人看到。现在很多考研辅导课程在讲这道题的时候，答案仍然是“AC的逆与C的逆不是相互独立”，其实这是不严谨的，因为很多老师都忽略了P(A)有可能等于0的情况，而且他们的依据是“相互独立的事件组任意不重复的事件进行集合运算后，新的集合与独立事件组的事件仍然是相互独立的”，这个定理本身没有问题，但并不代表包含重复事件的情况下就一定是不独立的。