已知函数f(x)=(e∧x)/|x|，关于x的方程f²(x)-2af(x)+a=1(a∈R)有四个

Question

已知函数f(x)=(e∧x)/|x|，关于x的方程f²(x)-2af(x)+a=1(a∈R)有四个相异的实数根，则a的取值范围为？

Answer 1

选 D

1)x∈(-∞,0)时,f(x)=-e^x/x
f'(x)=(1-x)(e^x/x²)>0
f(x)在其上单增,值域是(0,+∞)
2)x∈(0,+∞)时,f(x)=e^x/x
f'(x)=(x-1)(e^x/x²)
x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)在其上单减,值域是(e,+∞)

x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在其上单增,值域是(e,+∞)
f'(1)=0,f(x)在x=1处取极小值f(1)=e
设g(t)=t²-2at+a-1
根据f(x)的图象(可先作出大致图象)得:
f²(x)-2af(x)+a-1=0有4个相异实根的充要条件是:
方程g(t)=0在(0,e)和(e,+∞)上各有一实根。
得a可取的充要条件是:
g(e)=e²-2ae+a-1=-(2e-1)+(e²-1)<0
且g(0)=a-1>0
即 a>(e²-1)/(2e-1) 且a>1
又(e²-1)/(2e-1)-1=e(e-2)/(2e-1)>0
即(e²-1)/(2e-1)>1
所以 a的取值范围是 ((e²-1)/(2e-1),+∞)

希望能帮到你！