已知函数f(x)=ln(2x)/x,关于x的不等式f²(x)+af(x)>0只有两个整数解，则实数a的取值范围是

Answer 1

结论:a的取值范围是：-ln2≤a<-(ln6)/3

(1)研究f(x)的结构:
f(x)=ln(2x)/x (x>0)
f'(x)=(1-ln(2x))/x²
x∈(0,e/2)时,f'(x)>0,f(x)在其上单增且值域是(-∞,2/e)
x∈(e/2,+∞)时,f'(x)<0,f(x)在其上单减且值域是(0,2/e)
在x=e/2 处取到极大值也是最大值f(e/2)=2/e
f(x)有唯一的零点x=1/2
f(1)=f(2)=ln2,f(3)= (ln6)/3
且ln2=f(1)=f(2)>f(3)>f(4)>...>0
(2)研究f²(x)+af(x)>0的整数解:
a≥0时
f²(x)+af(x)>0 解得f(x)<-a或f(x)>0
由f(x)>0 得到一切正整数都是f²(x)+af(x)>0 的解.
可得 一切a≥0不可取.
a<0时
f²(x)+af(x)>0 解得f(x)<0或f(x)>-a
f(x)<0解得 0<x<1/2 其中无整数解.
则f(x)的性质得：f(x)>-a恰在2个整数解的充要条件是:
f(1)=f(2)>-a≥f(3)
即ln2>-a≥(ln6)/3
解得-ln2≤a<-(ln6)/3
所以a的取值范围是：-ln2≤a<-(ln6)/3

希望能帮到你！

追问

这个。。闭区间应该是在右边的

麻烦说一下你的思路

追答

“解得-ln2≤a<-(ln6)/3”
更正为:解得-ln2<a≤-(ln6)/3

所以a的取值范围是：-ln2<a≤-(ln6)/3.